Bài tập cuối chương 1

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{x} - \frac{3}{{2x}} = \frac{1}{6}\\\frac{6}{{6x}} - \frac{9}{{6x}} = \frac{x}{6}\\x =  - 3\end{array}\)

Ta thấy: \(x =  - 3\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

=> Chọn đáp án B.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính phù hợp ấn liên tiếp các phím:

\(MODE \to 5 \to 1 \to 1 \to \, = \, \to 1 \to \, = \, \to 9 \to \, = \, \to 1 \to \, = \, \to  - 1 \to \, = \, \to  - 1 \to \, = \, \to \, = \,\)

Ta được nghiệm của hệ phương trình là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;5} \right)\)

=> Chọn đáp án A.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a. \(\left( {3x + 7} \right)\left( {4x + 9} \right) = 0\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(3x + 7 = 0\)                                                  

    \(x =  - \frac{7}{3}\);                                                           

*) \(4x + 9 = 0\)

\(x =  - \frac{9}{4}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - \frac{7}{3}\) và \(x =  - \frac{9}{4}\).

b. \(\left( {5x - 0,2} \right)\left( {0,3x + 6} \right) = 0\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(5x - 0,2 = 0\)                                                   *) \(0,3x + 6 = 0\)

   \(x = 0,04\);                                                           \(x =  - 20\).

*) \(0,3x + 6 = 0\)

\(x =  - 20\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 0,04\) và \(x =  - 20\).

c. \(x\left( {2x - 1} \right) + 5\left( {2x - 1} \right) = 0\)

Ta có: \(x\left( {2x - 1} \right) + 5\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = 0\).

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(2x - 1 = 0\)                                               

\(x = \frac{1}{2}\);                                                           

*)\(x + 5 = 0\)

\(x =  - 5\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = \frac{1}{2}\) và \(x =  - 5\).

d. \({x^2} - 9 - \left( {x + 3} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0\)

Ta có: \({x^2} - 9 - \left( {x + 3} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l}\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right)\left( {3x + 1} \right) = 0\\\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3 - 3x - 1} \right) = 0\\\left( {x + 3} \right)\left( { - 2x - 4} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x + 3 = 0\)                                               

\(x =  - 3\);                                                           

*)\( - 2x - 4 = 0\)

\(x =  - 2\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - 3\) và \(x =  - 2\).

e. \({x^2} - 10x + 25 = 5\left( {5 - x} \right)\)

Ta có: \({x^2} - 10x + 25 = 5\left( {5 - x} \right)\)

\(\begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} = 5\left( {5 - x} \right)\\{\left( {5 - x} \right)^2} - 5\left( {5 - x} \right) = 0\\\left( {5 - x} \right)\left( {5 - x - 5} \right) = 0\\ - x\left( {5 - x} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \( - x = 0\)                                               

\(x = 0\);                                                        

*)\(5 - x = 0\)

\(x = 5\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 0\) và \(x = 5\).

g. \(4{x^2} = {\left( {x - 12} \right)^2}\)

Ta có: \(4{x^2} = {\left( {x - 12} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l}4{x^2} - {\left( {x - 12} \right)^2} = 0\\\left( {2x - x + 12} \right)\left( {2x + x - 12} \right) = 0\\\left( {x + 12} \right)\left( {3x - 12} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x + 12 = 0\)                                               

\(x =  - 12\);                                                        

*)\(3x - 12 = 0\)

\(x = 4\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x =  - 12\) và \(x = 4\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a. \(\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne - 3\).

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\\\frac{{ - 18}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}}\\2\left( {x + 3} \right) = - 18\\x + 3 = - 9\\x = - 12\end{array}\)

Ta thấy \(x = - 12\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 12\).

b. \(\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0\\\frac{{2x\left( {x - 2} \right)}}{{4x}} + \frac{2}{{4x}} = 0\\2x\left( {x - 2} \right) + 2 = 0\\x\left( {x - 2} \right) + 1 = 0\\{x^2} - 2x + 1 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\x - 1 = 0\\x = 1\end{array}\)

Ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\).

c. \(\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{4}{3}\) và \(x \ne - 2\).

\(\begin{array}{l}\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}\\\frac{{8\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{3x - 4}}{{\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}8\left( {x + 2} \right) = 3x - 4\\8x + 16 - 3x + 4 = 0\\5x + 20 = 0\\x = - 4\end{array}\)

Ta thấy \(x = - 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 4\).

d. \(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\)

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1\\\frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\x\left( {x - 2} \right) + 2 = {\left( {x - 2} \right)^2}\\{x^2} - 2x + 2 = {x^2} - 4x + 4\\{x^2} - 2x + 2 - {x^2} + 4x - 4 = 0\\2x - 2 = 0\\x = 1\end{array}\)

Ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\).

e. \(\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\\\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\3{x^2} - 3x - 2x + 2 = 4{x^2} - 4 - {x^2} - 3x - 2\\3{x^2} - 5x + 2 = 3{x^2} - 3x - 6\\3{x^2} - 3{x^2} - 5x + 3x + 2 + 6 = 0\\ - 2x = - 8\\x = 4\end{array}\)

Ta thấy \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 4\).

g. \(\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) và \(x \ne 2\).

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\\\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\{x^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x + 2\\{x^2} = {x^2} - 3x + 2 - x + 2\\{x^2} - {x^2} + 4x - 4 = 0\\4x = 4\\x = 1\end{array}\)

Ta thấy \(x = 1\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a. \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5x + 8y = 11\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có: \(x = - 2 - 3y\) (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: \(5.\left( { - 2 - 3y} \right) + 8y = 11\) (4)

Giải phương trình (4):

\(\begin{array}{l}5.\left( { - 2 - 3y} \right) + 8y = 11\\ - 10 - 15y + 8y = 11\\ - 7y = 11 + 10\\ - 7y = 21\\y = - 3\end{array}\)

Thay \(y = - 3\), vào phương trình (3), ta có: \(x = - 2 - 3.\left( { - 3} \right) = 7\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {7; - 3} \right)\).

b. \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = - 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\3x - 2y = - 3\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với 3 và phương trình (2) với (2), ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}6x + 9y = - 6\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\6x - 4y = - 6\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương tình (3) và (4), ta nhận được phươn trình: \(13y = 0\), tức là \(y = 0\)

Thế \(y = 0\) vào phương trình (1), ta được phương trình: \(2x + 3.0 = - 2\)(5)

Giải phương trình (5):

\(\begin{array}{l}2x + 3.0 = - 2\\2x = - 2\\x = - 1\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 1;0} \right)\).

c. \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 4y = - 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 3x + 6y = 2\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Chia hai vế của phương trình (1) với 2 và phương trình (2) với \( - 3\), ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\x - 2y = \frac{2}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta nhận được phương trình: \(0x + 0y = - \frac{7}{6}\) (5)

Do đó phương trình (5) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số bạn trẻ của nhóm là \(x\) (người, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Số vốn mỗi người dự định góp là: \(\frac{{240}}{x}\) ( triệu đồng)

Nếu thêm 2 người, thì số bạn trẻ của nhóm là: \(x + 2\) (người)

Số vốn sau khi thêm 2 người, mỗi người phải góp là: \(\frac{{240}}{{x + 2}}\) (triệu đồng)

Do nếu thêm 2 người tham gia thì số tiền mỗi người góp giảm đi 4 triệu đồng nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{240}}{x} - 4 = \frac{{240}}{{x + 2}}\\\frac{{240\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{4x\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{240x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\240\left( {x + 2} \right) - 4x\left( {x + 2} \right) = 240x\\240x + 480 - 4{x^2} - 8x - 240x = 0\\ - 4{x^2} - 8x + 480 = 0\\{x^2} + 2x - 120 = 0\\\left( {x - 10} \right)\left( {x + 12} \right) = 0\end{array}\)

Để giải phương trình trên, ta giải hai phương trình sau:

*) \(x - 10 = 0\)

\(x = 10\);

*)\(x + 12 = 0\)

\(x = - 12\).

Ta thấy

+ \(x = 10\) thỏa mãn điều kiện đề bài;

+ \(x = - 12\) không thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy nhóm bạn trẻ có 10 người.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ ngồi lái cắt được trong 10 phút là \(x\,\left( {{m^2};x > 0} \right)\)

Gọi số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ đẩy tay cắt được trong 10 phút là \(y\,\left( {{m^2};y > 0} \right)\)

Do trong 10 phút, công nhân sử dụng 3 máy cắt cỏ ngồi lái và 2 máy cắt cỏ đẩy tay thì cắt được \(2990{m^2}\) nên ta có phương trình: \(3x + 2y = 2990\) (1)

Do trong 10 phút, công nhân sử dụng 4 máy cắt cỏ ngồi lái và 3 máy cắt cỏ đẩy tay thì cắt được \(4060{m^2}\) nên ta có phương trình: \(4x + 3y = 4060\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 2990\\4x + 3y = 4060\end{array} \right.\)

Nhân phương trình (1) với 4 và phương trình (2) với 3 ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}12x + 8y = 11960\,\,\,\,\left( 3 \right)\\12x + 9y = 12180\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Ta giải hệ phương trình trên:

Trừ từng vế của phương trình (4) và (3), ta được \(y = 220\)

Thay \(y = 220\) vào phương trình (1) ta được \(3x + 2.220 = 2990\) (5)

Giải phương trình (5): \(x = 850\)

Vậy số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ ngồi lái cắt được trong 10 phút là \(850\left( {{m^2}} \right)\)

Số mét vuông cỏ loại máy cắt cỏ đẩy tay cắt được trong 10 phút là \(220\left( {{m^2}} \right)\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số vé bán ra của loại I là \(x\) (vé, \(x < 500;x \in {\mathbb{N}^*}\))

Gọi số vé bán ra của loại II là \(y\) (vé, \(y < 500;y \in {\mathbb{N}^*}\)).

Do tổng số vé ban tổ chức đã bán là 500 vé nên ta có phương trình: \(x + y = 500\) (1)

Số tiền thu được từ bán vé loại I là: \(100000x\) (đồng)

Số tiền thu được từ bán vé loại II là: \(75000y\) (đồng)

Do tổng số vé thu được từ bán vé là 44 500 000 đồng, nên ta có phương trình:

\(100000x + 75000y = 44500000\) hay \(4x + 3y = 1780\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\4x + 3y = 1780\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1) ta có: \(x = 500 - y\) (3)

Thay vào phương trình (2), ta được: \(4\left( {500 - y} \right) + 3y = 1780\) (4)

Giải phương trình (4):

\(\begin{array}{l}4.\left( {500 - y} \right) + 3y = 1780\\2000 - 4y + 3y = 1780\\ - y = - 220\\y = 220\end{array}\)

Thay giá trị \(y = 220\) vào phương trình (3), ta có: \(x = 500 - 220 = 280\).

Vậy số vé bán ra của loại I là 280 (vé)

 Số vé bán ra của loại II là 220 (vé)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi giá niêm yết của mặt hàng A là \(x\) (đồng, x > 0)

Gọi giá niêm yết của mặt hàng B là y (đồng, y > 0)

Trong đợt khuyến mãi:

+ Giá bán của mặt hàng A là \(x - 20\% x = 80\% x = 0,8x\) (đồng)

+ Giá bán của mặt hàng B là \(y - 15\% y = 85\% y = 0,85y\) (đồng)

+ Khách hàng mua 2 món hàng A và 1 món hàng B thì số tiền phải trả là 362 000 đồng nên ta có phương trình: \(1,6x + 0,85y = 362000\) (1)

Trong giờ vàng:

+ Giá bán của mặt hàng A là: \(x - 30\% x = 70\% x = 0,7x\)

+ Giá bán của mặt hàng B là: \(y - 25\% y = 75\% y = 0,75y\)

+ Khách hàng mua 3 món hàng A và 2 món hàng B trả số tiền là 552000 nên ta có phương trình:

\(2,1x + 1,5y = 552000\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1,6x + 0,85y = 362000\\2,1x + 1,5y = 552000\end{array} \right.\)

Ta giải phương trình trên:

Nhân từng vế của phương trình 1 với 2,1 và phương trình 2 với 1,6 ta được hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l}3,36x + 1,785y = 760200\,\,\,\left( 3 \right)\\3,36x + 2,4y = 883200\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (4) cho phương trình (3) ta được \(0,615y = 123000\), tức là \(y = 200000\)

Thay \(y = 200000\) vào phương trình (1) ta được: \(1,6x + 0,85.200000 = 362000\) (5)

Giải phương trình (5) :

\(\begin{array}{l}1,6x + 0,85.200000 = 362000\\x = 120000\end{array}\)

Vậy giá bán niêm yết của mặt hàng A là 120000 (đồng)

Giá bán niêm yết của mặt hàng B là 200000 (đồng).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số gam dung dịch HCl 10% cần dùng là x (g, x > 0)

Số gam dung dịch HCl 25% cần dùng là y (g, y > 0).

Áp dụng sơ đồ đường chéo ta có: \(\frac{x}{y} = \frac{{\left| {19 - 10} \right|}}{{\left| {19 - 25} \right|}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\) hay \(2x - 3y = 0\) (1)

Mặt khác \(x + y = 500\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 0\\x + y = 500\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (2) với 2 và phương trình (1) giữ nguyên, ta được hệ phương trình sau: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\2x + 2y = 1000\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được \( - 5y = - 1000\) tức là \(y = 200\).

Thay \(y = 200\) vào phương trình (2) ta được \(x + 200 = 500\) hay \(x = 300\).

Vậy số gam dung dịch HCl 10% cần dùng là 300 (g)

Số gam dung dịch HCl 25% cần dùng là 200 (g). 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)