Giải các phương trình :
a. \(\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\);
b. \(\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0\);
c. \(\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}\);
d. \(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1\);
e. \(\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\);
g. \(\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\).
a. \(\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne - 3\).
\(\begin{array}{l}\frac{{ - 6}}{{x + 3}} = \frac{2}{3}\\\frac{{ - 18}}{{3\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{3\left( {x + 3} \right)}}\\2\left( {x + 3} \right) = - 18\\x + 3 = - 9\\x = - 12\end{array}\)
Ta thấy \(x = - 12\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 12\).
b. \(\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 0\)
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 2}}{2} + \frac{1}{{2x}} = 0\\\frac{{2x\left( {x - 2} \right)}}{{4x}} + \frac{2}{{4x}} = 0\\2x\left( {x - 2} \right) + 2 = 0\\x\left( {x - 2} \right) + 1 = 0\\{x^2} - 2x + 1 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\x - 1 = 0\\x = 1\end{array}\)
Ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\).
c. \(\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{4}{3}\) và \(x \ne - 2\).
\(\begin{array}{l}\frac{8}{{3x - 4}} = \frac{1}{{x + 2}}\\\frac{{8\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{3x - 4}}{{\left( {3x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}8\left( {x + 2} \right) = 3x - 4\\8x + 16 - 3x + 4 = 0\\5x + 20 = 0\\x = - 4\end{array}\)
Ta thấy \(x = - 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = - 4\).
d. \(\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 2\)
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{x - 2}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 1\\\frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{2}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\x\left( {x - 2} \right) + 2 = {\left( {x - 2} \right)^2}\\{x^2} - 2x + 2 = {x^2} - 4x + 4\\{x^2} - 2x + 2 - {x^2} + 4x - 4 = 0\\2x - 2 = 0\\x = 1\end{array}\)
Ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\).
e. \(\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne - 1\) và \(x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}\frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 4 - \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\\\frac{{\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\\left( {3x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\3{x^2} - 3x - 2x + 2 = 4{x^2} - 4 - {x^2} - 3x - 2\\3{x^2} - 5x + 2 = 3{x^2} - 3x - 6\\3{x^2} - 3{x^2} - 5x + 3x + 2 + 6 = 0\\ - 2x = - 8\\x = 4\end{array}\)
Ta thấy \(x = 4\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 4\).
g. \(\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 1\) và \(x \ne 2\).
\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 1 - \frac{1}{{x - 1}}\\\frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\{x^2} = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x + 2\\{x^2} = {x^2} - 3x + 2 - x + 2\\{x^2} - {x^2} + 4x - 4 = 0\\4x = 4\\x = 1\end{array}\)
Ta thấy \(x = 1\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.