Trong không gian Oxyz, có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng Oxy không?
\(\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{a'}=\left(x';y';z'\right)\). \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'}=?\)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right),\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) và số thực m.
a) Biểu diễn từng vectơ a và b theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\), từ đó suy ra tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k \)
b) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k + {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k = ({a_1} + {b_1})\overrightarrow i + ({a_2} + {b_2})\overrightarrow j + ({a_3} + {b_3})\overrightarrow k = ({a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2};{a_3} + {b_3})\)
\(\overrightarrow a - \overrightarrow b = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k - {b_1}\overrightarrow i - {b_2}\overrightarrow j - {b_3}\overrightarrow k = ({a_1} - {b_1})\overrightarrow i + ({a_2} - {b_2})\overrightarrow j + ({a_3} - {b_3})\overrightarrow k = ({a_1} - {b_1};{a_2} - {b_2};{a_3} - {b_3})\)
\(m\overrightarrow a = m({a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k ) = m{a_1}\overrightarrow i + m{a_2}\overrightarrow j + m{a_3}\overrightarrow k = (m{a_1};m{a_2};m{a_3})\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}.\)
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
c) Chứng minh vectơ \(\overrightarrow{a}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{m}=\left(-6;15;-9\right)\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow d = 4\overrightarrow a - \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c = 4(2; - 5;3) - \frac{1}{3}(0;2; - 1) + 3(1;7;2) = (11;\frac{{37}}{3};\frac{{55}}{3})\)
b) \(\overrightarrow e = \overrightarrow a - 4\overrightarrow b - 2\overrightarrow c = (2; - 5;3) - 4(0;2; - 1) - 2(1;7;2) = (0; - 27;3)\)
c) Ta có: \( - 3\overrightarrow a = ( - 6;15; - 9) = \overrightarrow m \) nên \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow m \)
(Trả lời bởi datcoder)
Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc \(\overrightarrow{v}\) = (10; 8; −3) (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là \(\overrightarrow{w}\)= (3, 5; 1; 0).
a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc u và v.
b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc \(\overrightarrow{u}\) = (7; 2; 0), hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow v + \overrightarrow w = (13,5;9; - 3)\)
b) Ta có: \(2\overrightarrow w = (7;2;0)\) nên \(\overrightarrow w \) và \(\overrightarrow u \) cùng phương
(Trả lời bởi datcoder)
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\).
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{i^2},\overrightarrow{j^2},\overrightarrow{k^2},\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j},\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k},\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}\).
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) theo tọa độ của hay vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k \)
\(\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k \)
b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ = 1\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow j = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow j .\overrightarrow k = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
\(\overrightarrow i .\overrightarrow k = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ = 0\)
c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = ({a_1}\overrightarrow i + {a_2}\overrightarrow j + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i + {b_2}\overrightarrow j + {b_3}\overrightarrow k )\)
\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)
\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\).
(Trả lời bởi datcoder)
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{m}=\left(-5;4;9\right),\overrightarrow{n}=\left(2;-7;0\right),\overrightarrow{p}=\left(6;3;-4\right)\).
a) Tính \(\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}.\overrightarrow{p}\).
b) Tính \(\left|\overrightarrow{m}\right|,\left|\overrightarrow{n}\right|,\cos\left(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\right)\).
c) Cho \(\overrightarrow{q}=\left(1;-2;0\right)\). Vectơ \(\overrightarrow{q}\) có vuông góc với \(\overrightarrow{p}\) không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow m .\overrightarrow n = - 5.2 + 4.( - 7) = - 38\)
\(\overrightarrow m .\overrightarrow p = ( - 5).6 + 4.3 + 9.( - 4) = - 54\)
b) \(|\overrightarrow m | = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {4^2} + {9^2}} = \sqrt {122} \)
\(|\overrightarrow n | = \sqrt {{2^2} + {{( - 7)}^2}} = \sqrt {53} \)
\(\cos (\overrightarrow m ,\overrightarrow n ) = \frac{{\overrightarrow m .\overrightarrow n }}{{|\overrightarrow m |.|\overrightarrow n |}} = \frac{{ - 38}}{{\sqrt {122} .\sqrt {53} }} = - \frac{{19\sqrt {6466} }}{{3233}}\)
c) \(\overrightarrow q .\overrightarrow p = 1.6 + 3.(-2) - 4.0 = 0\) nên \(\overrightarrow q \) vuông góc với \(\overrightarrow p \).
(Trả lời bởi datcoder)
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow{f}=\left(5;4;-2\right)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow{a}\) = (70; 20; -40) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow{f}\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiCông sinh bởi lực \(\overrightarrow f \) là: \(A = \overrightarrow f .\overrightarrow a = 5.70 + 4.20 - 2.( - 40) = 510J\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB). Từ biểu thức \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) theo tọa độ hai điểm A, B.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} = ({x_A};{y_A};{z_A}) - ({x_B};{y_B};{z_B}) = ({x_A} - {x_B};{y_A} - {y_B};{z_A} - {z_B})\)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho ba điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4), P(0; −6; 5).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{MP}\).
b) Tính các độ dài MN, NP, MP.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\overrightarrow {MN} = ( - 9 - 7;0 - ( - 2);4 - 0) = ( - 16;2;4)\)
\(\overrightarrow {NP} = (0 - ( - 9); - 6 - 0;5 - 4) = (9; - 6;1)\)
\(\overrightarrow {MP} = (0 - 7; - 6 - ( - 2);5 - 0) = ( - 7; - 4;5)\)
b) \(MN = \sqrt {{{( - 16)}^2} + {2^2} + {4^2}} = 2\sqrt {69} \)
\(NP = \sqrt {{9^2} + {{( - 6)}^2} + {1^2}} = \sqrt {118} \)
\(MP = \sqrt {{{( - 7)}^2} + {{( - 4)}^2} + {5^2}} = 3\sqrt {10} \)
(Trả lời bởi datcoder)
Cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB và G(xG; yG; zG) là trọng tâm của tam giác ABC.
Sử dụng các hệ thức vectơ \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right);\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\), tìm tọa độ của các điểm M và G.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = ({x_A} + {x_B};{y_A} + {y_B};{z_A} + {z_B})\)
\(\overrightarrow {OM} = \frac{1}{2}({x_A} + {x_B};{y_A} + {y_B};{z_A} + {z_B}) = (\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\)=> \(M(\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_A} + {z_B}}}{2})\)
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = {x_A} + {x_B} + {x_C};{y_A} + {y_B} + {y_C};{z_A} + {z_B} + {z_C}\)
\(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} ) = \frac{1}{3}({x_A} + {x_B} + {x_C};{y_A} + {y_B} + {y_C};{z_A} + {z_B} + {z_C}) = (\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\)=> \(G(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3})\)
(Trả lời bởi datcoder)