Trong không gian Oxyz, có thể thực hiện các phép toán vectơ dựa trên tọa độ của chúng tương tự như đã làm trong mặt phẳng Oxy không?
\(\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right),\overrightarrow{a'}=\left(x';y';z'\right)\). \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a'}=?\)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right),\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\) và số thực m.
a) Biểu diễn từng vectơ a và b theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\).
b) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\), từ đó suy ra tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b},\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b},m\overrightarrow{a}\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right),\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right),\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}.\)
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
c) Chứng minh vectơ \(\overrightarrow{a}\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{m}=\left(-6;15;-9\right)\).
Một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc \(\overrightarrow{v}\) = (10; 8; −3) (Hình 1). Cho biết vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là \(\overrightarrow{w}\)= (3, 5; 1; 0).
a) Tìm tọa độ của vectơ tổng hai vận tốc u và v.
b) Giả sử thiết bị thăm dò lặn với vận tốc \(\overrightarrow{u}\) = (7; 2; 0), hãy nêu nhận xét về vectơ vận tốc của nó so với vectơ vận tốc của dòng hải lưu.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)\).
a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\).
b) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{i^2},\overrightarrow{j^2},\overrightarrow{k^2},\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j},\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k},\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}\).
c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) theo tọa độ của hay vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).
Cho ba vectơ \(\overrightarrow{m}=\left(-5;4;9\right),\overrightarrow{n}=\left(2;-7;0\right),\overrightarrow{p}=\left(6;3;-4\right)\).
a) Tính \(\overrightarrow{m}.\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}.\overrightarrow{p}\).
b) Tính \(\left|\overrightarrow{m}\right|,\left|\overrightarrow{n}\right|,\cos\left(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\right)\).
c) Cho \(\overrightarrow{q}=\left(1;-2;0\right)\). Vectơ \(\overrightarrow{q}\) có vuông góc với \(\overrightarrow{p}\) không?
Một thiết bị thăm dò đáy biển (Hình 2) được đẩy bởi một lực \(\overrightarrow{f}=\left(5;4;-2\right)\) (đơn vị: N) giúp thiết bị thực hiện độ dời \(\overrightarrow{a}\) = (70; 20; -40) (đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực \(\overrightarrow{f}\).
Cho hai điểm A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB). Từ biểu thức \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\), tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) theo tọa độ hai điểm A, B.
Cho ba điểm M(7; −2; 0), N(−9; 0; 4), P(0; −6; 5).
a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{MN},\overrightarrow{NP},\overrightarrow{MP}\).
b) Tính các độ dài MN, NP, MP.
Cho tam giác ABC có A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB), C(xC; yC; zC). Gọi M(xM; yM; zM) là trung điểm của đoạn thẳng AB và G(xG; yG; zG) là trọng tâm của tam giác ABC.
Sử dụng các hệ thức vectơ \(\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right);\overrightarrow{OG}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)\), tìm tọa độ của các điểm M và G.