Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Hướng dẫn giải

a) \(M'(\frac{{1 - 3}}{2};\frac{{2 - 1}}{2};\frac{3}{2})\) hay \(M'( - 1;\frac{1}{2};\frac{3}{2})\)

\(N'(\frac{{2 - 3}}{2};\frac{{1 - 1}}{2};\frac{3}{2})\) hay \(N'( - \frac{1}{2};0;\frac{3}{2})\).

\(P'(\frac{{2 + 1}}{2};\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{3 + 3}}{2})\) hay \(P'(\frac{3}{2};\frac{3}{2};3)\)

b) \(G(\frac{{2 + 1 - 3}}{3};\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{3 + 3 + 0}}{3})\) hay \(G(0;\frac{2}{3};1)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{a}{2})}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\overrightarrow {OA}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow j  = (0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0) \Rightarrow A(0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0)\)

\(\overrightarrow {OB}  =  - \frac{a}{2}\overrightarrow i  = ( - \frac{a}{2};0;0) \Rightarrow B( - \frac{a}{2};0;0)\)

\(\overrightarrow {OC}  = \frac{a}{2}\overrightarrow i  = (\frac{a}{2};0;0) \Rightarrow C(\frac{a}{2};0;0)\)

\(\overrightarrow {OS}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\overrightarrow j  + a\overrightarrow k  = (0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a) \Rightarrow S(0;\frac{{a\sqrt 3 }}{2};a)\)

b) \(M(\frac{{0 - \frac{a}{2}}}{2};\frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{2};\frac{a}{2})\) hay \(M( - \frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{4};\frac{a}{2})\)

\(N(\frac{{0 + \frac{a}{2}}}{2};\frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{2};\frac{a}{2})\) hay \(N(\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 3 }}{4};\frac{a}{2})\)

c) \(G(\frac{{0 + \frac{a}{2} - \frac{a}{2}}}{3};\frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{3};\frac{a}{3})\) hay \(G(0;\frac{{a\sqrt 3 }}{6};\frac{a}{3})\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\overrightarrow {NP}  = (2; - 1; - 1)\)

Gọi K(x;y;z) là chân đường cao kẻ từ M của tam giác MNP

=> \(\overrightarrow {NK}  = (x - 5;y - 9;z - 3)\)

\(\overrightarrow {NK} \) cùng phương với \(\overrightarrow {NP} \) nên \(x - 5 = 2t;y - 9 =  - t;z - 3 =  - t\) => \(K(2t + 2; - t + 9; - t + 3)\)

Ta có: \(\overrightarrow {MK}  = (2t + 2; - t + 8; - t + 1)\)

\(\overrightarrow {MK}  \bot \overrightarrow {NP}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MK} .\overrightarrow {NP}  = 0 \Leftrightarrow (2t + 2).2 - ( - t + 8) - ( - t + 1) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{6}\)

Vậy \(K(\frac{{11}}{3};\frac{{49}}{6};\frac{{13}}{6})\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = (5;8;1) \Rightarrow MN = \sqrt {{5^2} + {8^2} + {1^2}}  = 3\sqrt {10} \)

\(\overrightarrow {MP}  = (7;7;0) \Rightarrow MP = \sqrt {{7^2} + {7^2}}  = 7\sqrt 2 \)

c) \(\cos M = \frac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} }}{{|\overrightarrow {MN} |.|\overrightarrow {MP} |}} = \frac{{5.7 + 8.7}}{{3\sqrt {10} .7\sqrt 2 }} = \frac{{13\sqrt 5 }}{{30}}\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow {AB}  = (4;6;8) \Rightarrow AB = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {8^2}}  = 2\sqrt {29} \)

\(\overrightarrow {AC}  = (8;10;3) \Rightarrow \sqrt {{8^2} + {{10}^2} + {3^2}}  = \sqrt {173} \)

\(\overrightarrow {BC}  = (4;4; - 5) \Rightarrow \sqrt {{4^2} + {4^2} + {{( - 5)}^2}}  = \sqrt {57} \)

c) \(\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{|\overrightarrow {AB} |.|\overrightarrow {AC} |}} = \frac{{4.8 + 6.10 + 8.3}}{{2\sqrt {29} .\sqrt {173} }} \approx 0,82 \Rightarrow \widehat {BAC} = 35,03^\circ \)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 5.4 + 2.( - 2) - 4.2 = 8\)

b) \(\overrightarrow c .\overrightarrow d  = 2.6 - 3.5 + 4.( - 3) =  - 15\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\(2\overrightarrow b  - \frac{3}{2}\overrightarrow a  = 2(-2;3;1) - \frac{3}{2}(0;1;3) = (-4;\frac{9}{2};-\frac{5}{2})\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)\), \(\overrightarrow{AC} = (0; -2; 4)\), \(\overrightarrow{BC} = (-1; -3; 3)\).

Vì \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) không cùng phương nên A, B, C không thẳng hàng.

Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Ta có chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC

= \(\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} + \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} + \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 3^2}\)

= \(\sqrt{3} + 2\sqrt{5} + \sqrt{19}\)

b) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC

Ta có: \(A'(\frac{{2 + 3}}{2};\frac{{1 + 2}}{2};\frac{{ - 1}}{2})\) hay \(A'(\frac{5}{2};\frac{3}{2}; - \frac{1}{2})\)

\(B'(\frac{{3 + 2}}{2};\frac{{2 - 1 }}{2};\frac{3}{2})\) hay \(B'(\frac{5}{2};\frac{1}{2}; \frac{3}{2})\)

\(C'(\frac{{2 + 2}}{2};\frac{{1 - 1}}{2};\frac{{ - 1 + 3}}{2})\) hay \(C'(2;0;1)\)

c) \(G(\frac{{2 + 3 + 2}}{3};\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{ - 1 + 3}}{3})\) hay \(G(\frac{7}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3})\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \({M_1}(1;2;0),{M_2}(0;2;3),{M_3}(1;0;3)\).

b)

+) Vì O là trung điểm của MM’ nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M'}} = 2{x_O} - {x_M}}\\{{y_{M'}} = 2{y_O} - {y_M}}\\{{z_{M'}} = 2{z_O} - {z_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M'}} = 2.0 - 1}\\{{y_{M'}} = 2.0 - 2}\\{{z_{M'}} = 2.0 - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M'}} =  - 1}\\{{y_{M'}} =  - 2}\\{{z_{M'}} =  - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy M’(-1;-2;-3).

+) Vì M’’ đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy nên \({M_1}\) là trung điểm của MM’’. Khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M''}} = 2{x_{{M_1}}} - {x_M}}\\{{y_{M''}} = 2{y_{{M_1}}} - {y_M}}\\{{z_{M''}} = 2{z_{{M_1}}} - {z_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M''}} = 2.1 - 1}\\{{y_{M''}} = 2.2 - 2}\\{{z_{M''}} = 2.0 - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M''}} = 1}\\{{y_{M''}} = 2}\\{{z_{M''}} =  - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy M’’(1;2;-3).

+) K là hình chiếu của M trên Oy nên K(0;2;0).

Vì K là trung điểm của MM’’’ nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M'''}} = 2{x_K} - {x_M}}\\{{y_{M'''}} = 2{y_K} - {y_M}}\\{{z_{M'''}} = 2{z_K} - {z_M}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M''}} = 2.0 - 1}\\{{y_{M''}} = 2.2 - 2}\\{{z_{M''}} = 2.0 - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{M''}} =  - 1}\\{{y_{M''}} = 2}\\{{z_{M''}} =  - 3}\end{array}} \right.\)

Vậy M’’’(-1;2;-3).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) \(M(0;{y_M};0)\)

M cách đều B và C => MB = MC

Ta có:

\(\overrightarrow {MC}  = (5;3 - {y_M};1) =  > MC = \sqrt {26 + {{(3 - {y_M})}^2}} \)

MB = MC \( \Leftrightarrow \sqrt {5 + {{(1 - {y_M})}^2}}  = \sqrt {26 + {{(3 - {y_M})}^2}}  \Leftrightarrow {y_M} = \frac{{29}}{4}\)

=> \(M(0;\frac{{29}}{4};0)\)

b) \(N({x_N};{y_N};0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {NA}  = (3 - {x_N};3 - {y_n};3) \Rightarrow NA = \sqrt {{{(3 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 9} \)

\(\overrightarrow {NB}  = (1 - {x_N};1 - {y_n};2) \Rightarrow NB = \sqrt {{{(1 - {x_N})}^2} + {{(1 - {y_n})}^2} + 4} \)

\(\overrightarrow {NC}  = (5 - {x_N};3 - {y_n};1) \Rightarrow NC = \sqrt {{{(5 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 1} \)

N cách đều ba điểm A, B, C nên NA = NB = NC

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{(3 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 9}  = \sqrt {{{(1 - {x_N})}^2} + {{(1 - {y_n})}^2} + 4} \\\sqrt {{{(3 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 9}  = \sqrt {{{(5 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 1} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} =  - 3\\{y_N} = \frac{{33}}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \(N( - 3;\frac{{33}}{4};0)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (1;4; - 1)\)

\(\overrightarrow {CD}  = ( - 2; - 8;2)\)

=> \( - 2\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) => \(\overrightarrow {AB} //\overrightarrow {CD} \) => ABCD là hình thang

(Trả lời bởi datcoder)