Bài 2: Toạ độ của vectơ trong không gian

Hướng dẫn giải

a) \(\overrightarrow a  = ( - 2;5; - 7) =  - 2\overrightarrow i  + 5\overrightarrow j  - 7\overrightarrow k \).

\(\overrightarrow b  = (4;0;1) = 4\overrightarrow i  + \overrightarrow k \).

b) \(\overrightarrow {OA}  = (7; - 2;1) = 7\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  + \overrightarrow k \).

\(\overrightarrow {OB}  = (0;5;0) = 5\overrightarrow j \).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a)

b) \(\overrightarrow {BA}  = 2\overrightarrow j  =  > A(0;2;0)\).

B trùng với gốc tọa độ O nên B(0;0;0).

\(\overrightarrow {BC}  = 3\overrightarrow j  =  > C(3;0;0)\).

Gọi E là hình chiếu của S lên Oz. Theo quy tắc hình bình hành ta có:

\(\overrightarrow {BS}  = 2\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  =  > S(2;0;2)\).

   (Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Các vectơ đơn vị trên các trục $\mathrm{Ox}, \mathrm{Oy}$, Oz lần lượt là $\vec{i}=\overrightarrow{O C}, \vec{j}=\overrightarrow{O E}, \vec{k}=\overrightarrow{O H}$ với E là điểm thuộc tia Oy sao cho $\mathrm{OE}=1$ và H là điểm thuộc tia Oz sao cho $\mathrm{OH}=1$.

Vì $\triangle A B C$ đều và $A O \perp B C$ nên $O$ là trung điểm của $B C$.
Mà $B C=2$ nên $O B=O C=1$ và $O A=\sqrt{3}$.
Vì $\overrightarrow{O B}$ và $\vec{i}$ ngược hướng và $\mathrm{OB}=1$ nên $\overrightarrow{O B}=-\vec{i}$. Suy ra $\mathrm{B}(-1 ; 0 ; 0)$.
Vì $\overrightarrow{O C}$ và $\vec{i}$ cùng hướng và $O C=1$ nên $\overrightarrow{O C}=\vec{i}$. Suy ra $C(1 ; 0 ; 0)$.
Vì $\overrightarrow{O A}$ và $\vec{j}$ cùng hướng và $O A=\sqrt{3}$ nên $\overrightarrow{O A}=\sqrt{3} \vec{j}$. Suy ra $A(0 ; \sqrt{3} ; 0)$.
Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{O S}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O H}=\sqrt{3} \vec{j}+\vec{k}$. Suy ra $S(0 ; \sqrt{3} ; 1)$.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác OAB vuông tại O: \(OB = \sqrt {A{B^2} - O{A^2}}  = \sqrt {{5^2} - {4^2}}  = 3\)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  =  - 4\overrightarrow j  =  > A(0; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {OB}  = 3\overrightarrow i  =  > B(3;0;0)\)

=> \(\overrightarrow {AB}  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  = (3; - 4;0)\)

\(\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow j  =  > C(0;4;0)\) => \(\overrightarrow {AC}  = 8\overrightarrow j  = (0;8;0)\)

\(\overrightarrow {OS}  = 4\overrightarrow k  =  > S(0;0;4)\) => \(\overrightarrow {AS}  = 4\overrightarrow j  + 4\overrightarrow k  = (0;4;4)\)

\(\overrightarrow {OM}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {OS}  + \overrightarrow {OC} ) = \frac{1}{2}(4\overrightarrow k  + 4\overrightarrow j ) = 2\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  =  > \overrightarrow {OM}  = (0;2;2) \Rightarrow M(0;2;2)\)

=> \(\overrightarrow {AM}  = 6\overrightarrow j  + 2\overrightarrow k  = (0;6;2)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\(\overrightarrow {OA}  = 10\overrightarrow k  =  > A(0;0;10)\)

Ta có: \(OH = OB.\cos 30^\circ  = \frac{{15\sqrt 3 }}{2}\)

\(OK = OB.\cos (90^\circ  - 30^\circ ) = \frac{{15}}{2}\)

Vậy B(\(\frac{{15}}{2}\);\(\frac{{15\sqrt 3 }}{2}\);0)

=> \(\overrightarrow {AB}  = (\frac{{15}}{2};\frac{{15\sqrt 3 }}{2}; - 10)\)

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Ta có: \(OC = MH = OM.\sin (\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OM} ) = 50.\sin 48^\circ  \approx 37,16\)

\(OH = OM.\cos (\overrightarrow {OH} ;\overrightarrow {OM} ) = 50.\cos 48^\circ  = 50.\cos 48^\circ  \approx 33,46\)

\(OA = OH.\cos (\overrightarrow i ;\overrightarrow {OH} ) = 33,46.\cos 64^\circ  = 33,46.\cos 64^\circ  \approx 14,67\)

\(OB = OH.\cos (90^\circ  - (\overrightarrow i ;\overrightarrow {OH} )) = 33,46.\cos (90^\circ  - 64^\circ ) = 33,46.\cos 26^\circ  \approx 30,07\)

=> M(14,67; 30,07; 37,16)

(Trả lời bởi datcoder)