Bài 2: Phương trình đường thẳng

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}\) và \(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-11-6t\\y=-6-3t\\z=10+3t\end{matrix}\right.\) (t là tham số);

b)   \(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=2+4t\\z=3+5t\end{matrix}\right.\) (t là tham số) và \(\Delta_2:\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{z-15}{-3}\).

c) \(\Delta_1:\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z}{1}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{2}\).

Tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ):

a) \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{3}t\\y=2\\z=3+t\end{matrix}\right.\) (t là tham số) và (P): \(\sqrt{3}x+z-2=0\);

b) \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2-t\\z=3+t\end{matrix}\right.\) (t là tham số) và (P): x + y + z - 4 = 0.

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\), đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\) và đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ∆' là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (P) (Hình 29).

a) Hãy xác định góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

Ta kí hiệu góc đó là (∆, (P)).

b) So sánh sin (∆, (P)) và \(\left|\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|\).

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là \(S\left(0;0;\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right),A\left(\dfrac{a}{2};0;0\right),B\left(-\dfrac{a}{2};0;0\right),C\left(-\dfrac{a}{2};a;0\right),D\left(\dfrac{a}{2};a;0\right)\) với a > 0 (Hình 36).

a) Xác định tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}\). Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).