Question

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{-1}\) và \(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-11-6t\\y=-6-3t\\z=10+3t\end{matrix}\right.\) (t là tham số);

b)   \(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=1+3t\\y=2+4t\\z=3+5t\end{matrix}\right.\) (t là tham số) và \(\Delta_2:\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+6}{2}=\dfrac{z-15}{-3}\).

c) \(\Delta_1:\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z}{1}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-1}{2}\).

Answer 1

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 6; - 3;3} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 11; - 6;10} \right)\).

Vì \( - 3\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 6; - 3;3} \right) = \overrightarrow {{u_2}} \), suy ra \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 12; - 8;7} \right)\) và \(\frac{2}{{ - 12}} \ne \frac{1}{{ - 8}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \) không cùng phương.

Vậy \({\Delta _1}//{\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3;4;5} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2; - 3} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 3; - 6;15} \right)\).

Ta có: \(\frac{3}{1} \ne \frac{4}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 8;12} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&5\\2&{ - 3}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\{ - 3}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&4\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 22;14;2} \right)\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = \left( { - 22} \right).\left( { - 4} \right) + 14.\left( { - 8} \right) + 2.12 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

c) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {4;3;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2;2} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {1;3;1} \right)\).

Ta có: \(\frac{4}{1} \ne \frac{3}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

Lại có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&3\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {4; - 7;5} \right)\)

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB}  = 4.2 - 7.2 + 5.1 =  - 1 \ne 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {AB} \) không đồng phẳng. Vậy \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.