Bài 2: Phương trình đường thẳng

Cho hai đường thẳng phân biệt ∆₁, ∆₂ lần lượt đi qua các điểm M₁, M₂ và tương ứng có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\).

a) Giả sử ∆₁ song song với ∆₂ (Hình 25). Các cặp vectơ sau có cùng phương hay không: \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\); \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{M_1M_2}\)?

b) Giả sử ∆₁ và ∆₂ cắt nhau (Hình 26). Hai vectơ \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) có cùng phương hay không? Ba vectơ \(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\) và \(\overrightarrow{M_1M_2}\) có đồng phẳng hay không?

c) Giả sử ∆₁ và ∆₂ chéo nhau (Hình 27). Hai vectơ \(\overrightarrow{u_1}\) và \(\overrightarrow{u_2}\) có cùng phương hay không? Ba vectơ \(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\) và \(\overrightarrow{M_1M_2}\) có đồng phẳng hay không?

Cho hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ trong không gian có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\). Giả sử ∆'₁, ∆'₂ là hai đường thẳng cùng đi qua điểm I và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆₁, ∆₂ (Hình 28).

a) Nếu mối liên hệ giữa hai góc (∆₁, ∆₂) và (∆'₁, ∆'₂).

b) Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng ∆'₁ và ∆'₂ sao cho \(\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{u_2}\). So sánh: 

\(\cos\left(\Delta'_1,\Delta'_2\right),\left|\cos\left(\overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}\right)\right|,\left|\cos\left(\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right)\right|\).

c) So sánh \(\cos\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\) và \(\dfrac{\left|\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}\right|}{\left|\overrightarrow{u_1}\right|.\left|\overrightarrow{u_2}\right|}\).

Cho mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\), đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}\) và đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (P) tại I. Gọi ∆' là hình chiếu của ∆ trên mặt phẳng (P) (Hình 29).

a) Hãy xác định góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P).

Ta kí hiệu góc đó là (∆, (P)).

b) So sánh sin (∆, (P)) và \(\left|\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|\).

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂). Lấy hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ sao cho ∆₁ ⊥ (P₁), ∆₂ ⊥ (P₂) (Hình 31).

a) Nêu cách xác định góc giữa hai đường thẳng ∆₁, ∆₂.

b) Góc đó có phụ thuộc vào việc chọn hai đường thẳng ∆₁, ∆₂ như trên hay không?

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂). Gọi \(\overrightarrow{n_1}=\left(A_1;B_1;C_1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(A_2;B_2;C_2\right)\) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P₁) và (P₂): Δ₁, Δ₂ lần lượt là giá của hai vectơ \(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\) (Hình 33). So sánh:

a) cos((P₁), (P₂)) và cos(Δ₁, Δ₂);

b) cos(Δ₁, Δ₂) và \(\left|\cos\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\right|\).