Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 59)

Hướng dẫn giải

Các phương trình bậc hai một ẩn là:

a) \(0,5{x^2} - 5x + \sqrt 3 = 0\) với \(a = 0,5;b = - 5;c = \sqrt 3 \)

c) \( - {x^2} + \sqrt 5 x = 0\) với \(a = - 1;b = \sqrt 5 ;c = 0\)

Phương trình b) \(0{x^2} - 0,25x + 6 = 0\) không phải phương trình bậc hai một ẩn vì \(a = 0\).

(Trả lời bởi datcoder)
Thảo luận (1)

Bài tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 59)

Hướng dẫn giải

Chiều xuôi: Nếu \(ac < 0\) thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt.

Ta có \(\Delta = {b^2} - 4ac\). Vì \(ac < 0\) nên \( - 4ac > 0\), suy ra \({b^2} - 4ac > 0\)(do \({b^2} > 0\)), do đó \(\Delta > 0\)

Vậy nếu \(ac < 0\) thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt.

Chiều ngược: Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm phân biệt thì \(ac < 0\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt suy ra \(\Delta = {b^2} - 4ac > 0\) nên \({b^2} > 4ac\).

Ta thấy có 2 trường hợp xảy ra:

TH1: \(4ac > 0\) nên \(ac > 0\)

TH2: \(4ac < 0\) nên \(ac < 0\)

Vậy khẳng định chiều ngược lại không đúng.

(Trả lời bởi datcoder)
Thảo luận (1)

Bài tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 59)

Hướng dẫn giải

a) \({x^2} - x - 5 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = - 1;c = - 5\).

\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 21 > 0\)

Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ 1 + \sqrt {21} }}{{2.1}} = \frac{{ 1 + \sqrt {21} }}{2};{x_2} = \frac{{ 1 - \sqrt {21} }}{{2.1}} = \frac{{ 1 - \sqrt {21} }}{2}\)

b) \(2{x^2} - 0,5x - 0,03 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = 2;b = - 0,5;c = - 0,03\).

\(\Delta = {\left( { - 0,5} \right)^2} - 4.2.\left( { - 0,03} \right) = 0,01 > 0\)

Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{0,5 + \sqrt {0,01} }}{{2.2}} = 0,15;{x_2} = \frac{{ 0,5 - \sqrt {0,01} }}{{2.2}} = 0,1\)

c) \( - 16{x^2} + 8x - 1 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = - 16;b = 8;c = - 1\). Do \(b = 8\) nên \(b' = 4\).

\(\Delta ' = {4^2} - \left( { - 16} \right).( - 1) = 0\)

Do \(\Delta ' = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là:

\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 4}}{{ - 16}} = \frac{1}{4}\)

d) \( - 2{x^2} + 5x - 4 = 0\)

Phương trình có các hệ số \(a = - 2;b = 5;c = - 4\).

\(\Delta = {5^2} - 4.\left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) = - 7 < 0\)

Do \(\Delta < 0\) nên phương trình vô nghiệm.

e) \(\frac{1}{5}{x^2} - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{5}{x^2} = 5\\{x^2} = 25\end{array}\)

\(x = 5\) hoặc \(x = - 5\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5;x = - 5\).

g) \(3{x^2} - \sqrt 2 x = 0\)

\(x(3x - \sqrt 2 ) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(3x - \sqrt 2 = 0\)

\(x = 0\)            \(x = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

Vậy phương trình có nghiệm \({x_1} = 0\) và \({x_2} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

(Trả lời bởi datcoder)
Thảo luận (1)

Bài tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 60)

Hướng dẫn giải

\(v = 3{t^2} - 30t + 135\)(1)

a) Vận tốc của ô tô khi \(t = 5\) là:

\(v = {3.5^2} - 30.5 + 135 = 60(km/h)\)

b) Để vận tốc ô tô bằng 120 km/h thì:

\(\begin{array}{l}120 = 3{t^2} - 30t + 135\\{t^2} - 10t + 5 = 0\\\Delta ' = {( - 5)^2} - 5.1 = 20 > 0\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

\({t_1} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {20} }}{1} \approx 9;{t_2} = \frac{{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {20} }}{1} \approx 1\)

Vì ra đa của máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của ô tô trong 10 phút nên \(0 < t < 10.\)

Vậy để vận tốc ô tô bằng 120 km/h thì \(t \approx 9\) phút hoặc \(t \approx 1\) phút.

(Trả lời bởi datcoder)
Thảo luận (1)

Bài tập 5 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 60)

Hướng dẫn giải

Điều kiện \(0 < x < 100\).

Số sản phẩm nhà máy đó sản xuất được trong năm 2020 là: \(5000 - x\% .5000 = 5000 - 50x\) (sản phẩm)

Số sản phẩm nhà máy đó sản xuất được trong năm 2021 là:

\(5000 - 50x - x\% \left( {5000 - 50x} \right) = 5000 - 50x - 50x + 0,5x^2 = 0,5x^2 - 100x + 5000\)

Ta lại có, số sản phẩm nhà máy đó sản xuất được trong năm 2021 giảm 51% so với số sản phẩm của năm 2019, nên số sản phẩm của năm 2021 là: \(5000 - 51\% .5000 = 2450\) sản phẩm.

Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}0,5x^2 - 100x + 5000 = 2450\\0,5x^2 - 100x + 2550 = 0\\x^2 - 200x + 5100 = 0\\\Delta ' = {\left( { - 100} \right)^2} - 1.5100 = 4900 > 0\end{array}\)

Vì \(\Delta ' > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 100} \right) + \sqrt {4900} }}{1} = 170;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 100} \right) - \sqrt {4900} }}{1} = 30.\)

Mà \(0 < x < 100\) nên \(x = 30.\)

Vậy \(x = 30\) là giá trị cần tìm.

(Trả lời bởi datcoder)
Thảo luận (1)

Bài tập 6 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 60)

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của mảnh đất là \(x\) (mét, \(x > 0\))

Chiều dài của mảnh đất là: \(x + 10(m)\)

Diện tích mảnh đất là: \(x(x + 10)({m^2})\)

Cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là: \(\frac{x}{8}(m)\)

Tổng diện tích trồng hoa là:
\(4.\frac{1}{2}.\frac{x}{8}.\frac{x}{8} = \frac{{{x^2}}}{{32}}({m^2})\)

Vì diện tích còn lại của mảnh đất không tính phần trồng hoa là 408 \({m^2}\) nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}x(x + 10) - \frac{{{x^2}}}{{32}} = 408\\{x^2} + 10x - \frac{{{x^2}}}{{32}} = 408\\32{x^2} + 320x - {x^2} = 13056\\31{x^2} + 320x - 13056 = 0\end{array}\)

\(x = - 26,3\) hoặc \(x = 16\)

Mà \(x > 0\) nên \(x = 16\).

Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 16m.

(Trả lời bởi datcoder)
Thảo luận (1)