Trong bài toán mở đầu, đối với đa thức \(-5,8x^2 + 11,8x + 7\) ở vế trái của phương trình, hãy xác định: bậc; hệ số của \(x^2\), hệ số của x và hệ số tự do.
Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn
Hoạt động 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 52)
Thảo luận (1)
Luyện tập 1 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 52)
Cho 2 ví dụ về:
a) Phương trình bậc hai 2 ẩn t;
b) Phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Hai ví dụ về phương trình bậc 2 ẩn t: \(3{t^2} - 7t + \frac{1}{2} = 0\) và \( - 2{t^2} + 3 = 0\).
b) Hai ví dụ về phương trình không phải là phương trình bậc hai một ẩn:
Phương trình \(3{t^3} - 7t + \frac{1}{2} = 0\) là phương trình bậc 3 ẩn t.
Phương trình \( - 2{t^2} + 3z = 0\) là phương trình hai ẩn t và z.
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 53)
Giải các phương trình sau:
a) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \({\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)
\(\begin{array}{l}x - 2 = 0\\x = 2\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 2\).
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) \(x = - 2\)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4;{x_2} = - 2\)
c) \({\left( {x - 3} \right)^2} = - 1\)
Vì \({(x - 3)^2} \ge 0\forall x \in R\) và \( - 1 < 0\) nên phương trình đã cho vô nghiệm.
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 2 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 53)
Giải phương trình sau: \({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\({\left( {x - 4} \right)^2} = 11\)
\(x - 4 = \sqrt {11} \) hoặc \(x - 4 = - \sqrt {11} \)
\(x = 4 + \sqrt {11} \) \(x = 4 - \sqrt {11} \)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4 + \sqrt {11} \) và \({x_2} = 4 - \sqrt {11} \).
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 53)
Xét phương trình \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\) (1)
Chia 2 vế của phương trình (1), ta được phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) (2)
a) Tìm số thích hợp cho “?” khi biến đổi phương trình (2) về dạng: ${{\left( x-? \right)}^{2}}=?$.
b) Từ đó, hãy giải phương trình 2.
c) Nêu các nghiệm của phương trình (1).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia)
\(\begin{array}{l}{x^2} - 2x - 8 = 0\\\left( {{x^2} - 2.x.1 + 1} \right) - 9 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} = 9\end{array}\)
Vậy "?" thứ nhất là 1, "?" thứ hai là 9.
b) \({\left( {x - 1} \right)^2} = 9\)
\(x - 1 = 3\) hoặc \(x - 1 = - 3\)
\(x = 4\) \(x = - 2\)
Vậy phương trình có nghiệm là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\)
c) \(2{x^2} - 4x - 16 = 0\)
\(\begin{array}{l}2\left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0\\{x^2} - 2x - 8 = 0\end{array}\)
Từ phương trình (1) ta đưa được về phương trình (2), nên nghiệm của phương trình (2) chính là nghiệm của phương trình (1) là \({x_1} = 4\) và \({x_2} = - 2\).
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 3 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 55)
Giải các phương trình:
a) \(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)
b) \(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)
c) \( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(3{x^2} - x - 0,5 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 3;b = - 1;c = - 0,5\)
\(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.3.( - 0,5) = 7 > 0\)
Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 - \sqrt 7 }}{6};{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt 7 }}{{2.3}} = \frac{{1 + \sqrt 7 }}{6}\)
b) \(4{x^2} + 10x + 15 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 4;b = 10;c = 15\)
\(\Delta = {10^2} - 4.4.15 = - 140 < 0\)
Do \(\Delta < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c) \( - {x^2} + x - \frac{1}{4} = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 1;b = 1;c = - \frac{1}{4}\)
\(\Delta = {1^2} - 4.\left( { - 1} \right).( - \frac{1}{4}) = 0\)
Do \(\Delta = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là:
\({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 1}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = \frac{1}{2}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 55)
Xét phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) với \(b = 2b'\).
a) Đặt \(\Delta ' = b{'^2} - ac\), chứng tỏ rằng \(\Delta = 4\Delta '.\)
b) Xét tính có nghiệm và nêu công thức nghiệm (nếu có) của phương trình trong các trường hợp: \(\Delta ' > 0;\Delta ' = 0;\Delta ' < 0.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Thay \(b = 2b'\)vào \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ta được:
\(\Delta = {b^2} - 4ac = {(2b')^2} - 4ac = 4b{'^2} - 4ac = 4\left( {b{'^2} - ac} \right) = 4\Delta '\) (vì \(\Delta ' = b{'^2} - ac\))
\( \Rightarrow \) đpcm
b) Vì \(\Delta = 4\Delta ' \Rightarrow \Delta ' = \frac{\Delta }{4}\) nên \(\Delta \) và \(\Delta '\)cùng dấu. Vậy:
Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
\({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_1} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}.\)
Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 4 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 56)
Giải các phương trình:
a) \({x^2} - 6x - 5 = 0\)
b) \( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)
c) \( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \({x^2} - 6x - 5 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = - 6;c = 5\). Do \(b = - 6\) nên \(b' = - 3\).
\(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.5 = 4 > 0\)
Do \(\Delta ' > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 1;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 5\)
b) \( - 3{x^2} + 12x - 35 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 3;b = 12;c = - 35\). Do \(b = 12\) nên \(b' = 6\).
\(\Delta ' = {6^2} - \left( { - 3} \right).\left( { - 35} \right) = - 69 < 0\)
Do \(\Delta ' < 0\) nên phương trình vô nghiệm.
c) \( - 25{x^2} + 30x - 9 = 0\)
Phương trình có các hệ số \(a = - 25;b = 30;c = - 9\). Do \(b = 30\) nên \(b' = 15\).
\(\Delta ' = {15^2} - \left( { - 25} \right).( - 9) = 0\)
Do \(\Delta ' = 0\) nên phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \frac{{ - 15}}{{ - 25}} = \frac{3}{5}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 5 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 58)
Trong bài toán ở phần mở đầu, sau bao lâu thì quả bóng chạm đất?Giả sử khi ném một quả bóng vào rổ, độ cao y (feet) của quả bóng và thời gian x (giây) liên hệ với nhau bởi công thức y -5,8x^2 + 11,8x + 7Khi quả bóng chạm đất, ta có thời gian x thỏa mãn phương trình -5,8x^2 + 11,8x + 7 0
Đọc tiếp
Trong bài toán ở phần mở đầu, sau bao lâu thì quả bóng chạm đất?
Giả sử khi ném một quả bóng vào rổ, độ cao y (feet) của quả bóng và thời gian x (giây) liên hệ với nhau bởi công thức \(y = -5,8x^2 + 11,8x + 7\)
Khi quả bóng chạm đất, ta có thời gian x thỏa mãn phương trình \( -5,8x^2 + 11,8x + 7 = 0\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi thời gian quả bóng chạm đất là \(x\left( {x > 0} \right)\), đơn vị: giây.
Theo bài ra, ta có phương trình:
\( -5,8x^2 + 11,8x + 7 = 0\)
\(\begin{array}{l} -5,8x^2 + 11,8x + 7 = 0\\\Delta = 11,8^2 - 4.(-5,8).7 = 301,64 > 0\end{array}\)
Do \(\Delta > 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:
\(\begin{array}{l}{x_1} = \frac{{ -11,8 + \sqrt {301,64} }}{{2.(-5,8)}} \approx - 0,5 < 0\left( L \right)\\{x_2} =\frac{{ -11,8 - \sqrt {301,64} }}{{2.(-5,8)}} \approx 2,5\left( {TM} \right)\end{array}\)
Vậy thời gian quả bóng chạm đất khoảng 2,5 giây.
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 6 (SGK Cánh Diều - Tập 2 - Trang 59)
Sử dụng máy tính cầm tay tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn (làm tròn kết quả đến hàng phần mười): \(\sqrt 2 {x^2} - 4x - \sqrt 3 = 0\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiBấm liên tiếp các phím:
Ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng): \({x_1} = - 0,381543902.\)
Ấn tiếp phím =, ta thấy trên màn hình hiện ra (kết quả gần đúng): \({x_2} = 3,2099710269.\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1} \approx - 0,4\)và \({x_2} \approx 3,2.\)
(Trả lời bởi datcoder)
