Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hướng dẫn giải

a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được \( - 2y =  - 8\) suy ra \(y = 4.\)

Thế \(y = 4\) vào phương trình đầu ta được \( - 4x + 3.4 = 0\) nên \( - 4x =  - 12\) suy ra \(x = 3.\)

Vậy\(\left( {3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình.

b) Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( {4x + 3y} \right) - \left( {x + 3y} \right) = 0 - 9\) nên \(3x =  - 9\) suy ra \(x =  - 3.\)

Thế \(x =  - 3\) vào phương trình số hai ta được \( - 3 + 3.y = 9\) nên \(3y = 12\) suy ra \(y = 4.\)

Vậy \(\left( { - 3;4} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

1. Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {2x + 2y} \right) + \left( {x - 2y} \right) = 6 + 3\\3x = 9\\x = 3\end{array}\)

2. Với \(x = 3\) thay vào phương trình thứ hai ta có: \(3 - 2y = 6\) nên \(y = \frac{{ - 3}}{2}.\)

Vậy \(\left( {3;\frac{{ - 3}}{2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khối lượng riêng của dung dịch HCl là 1,49 g/cm3

Đổi 2l = 2000ml

Khối lượng mol của HCl: 36,5 g/mol

a) Thể tích của dung dịch HCl 10% nhận được sau khi trộn lẫn hai dung dịch acid ban đầu là 2 lít nên ta có phương trình: \(x + y = 2000\left( {ml} \right).\)

Tổng số gam HCl nguyên chất sau pha là: \(36,5.0,008.x{.10^{ - 3}} + 36,5.0,002y{.10^{ - 3}} = 36,5.0,008\) hay \(36,5.0,008.x{.10^{ - 3}} + 36,5.0,002y{.10^{ - 3}} = 0,292\) (gam)

b) Từ câu a ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2000\\0,{008.10^{ - 3}}.36,5.x + 0,{002.10^{ - 3}}.36,5y = 0,292\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2000\\4x + y = 4000\end{array} \right.\)

Từ phương trình đầu ta có \(x = 2000 - y\) thay vào phương trình thứ hai ta được \(4\left( {2000 - y} \right) + y = 4000\) suy ra \(8000 - 3y = 4000\) nên \(y = \frac{{4000}}{3}.\) Thế \(y = \frac{{4000}}{3}\) vào phương trình thứ nhất ta được \(x = \frac{{2000}}{3}.\)

Vậy cần lấy \(\frac{{2000}}{3}\left( {ml} \right)\) dung dịch HCl 20% và \(\frac{{4000}}{3}\left( {ml} \right)\) dung dịch HCl 5%. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với số 3, nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với số 2 ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}12x + 9y = 18\\ - 12x + 20y =  - 8\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {12x + 9y} \right) + \left( { - 12x + 20y} \right) = 18 + \left( { - 8} \right)\) nên \(29y = 10\) suy ra \(y = \frac{{10}}{{29}}.\)

Thế \(y = \frac{{10}}{{29}}\) vào phương trình thứ nhất ta được \(4x + 3.\frac{{10}}{{29}} = 6\) nên \(4x = \frac{{144}}{{29}}\) suy ra \(x = \frac{{36}}{{29}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{36}}{{29}};\frac{{10}}{{29}}} \right)\). 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y =  - 4\\ - 3x - 7y = 13;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{{11}}{5};y = \frac{{ - 14}}{5}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là\(\left( {\frac{{11}}{5}; - \frac{{14}}{5}} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 1\\ - x - 1,5y = 1;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “No-solution”.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y - 6 = 0\\4x - y - 3 = 0.\end{array} \right.\)

Ta cần đưa hệ \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y - 6 = 0\\4x - y - 3 = 0\end{array} \right.\) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 2y = 6\\4x - y = 3\end{array} \right.\)

Bấm máy tính màn hình hiển thị “Infinite Sol”.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 3\\3x - 4y = 2;\end{array} \right.\)

Từ phương trình đầu ta có \(x = 3 + y\) thế vào phương trình thứ hai ta được \(3\left( {3 + y} \right) - 4y = 2\) suy ra \(9 - y = 2\) nên \(y = 7.\) Thế \(y = 7\) vào phương trình đầu ta có \(x = 10.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {10;7} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y = 13\\4x + y = 2;\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 2 - 4x\) thế vào phương trình đầu ta được \(7x - 3\left( {2 - 4x} \right) = 13\) suy ra \( - 6 + 19x = 13\) nên \(x = 1.\) Thế \(x = 1\) vào phương trình thứ hai ta có \(y =  - 2.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {1; - 2} \right).\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}0,5x - 1,5y = 1\\ - x + 3y = 2.\end{array} \right.\)

Từ phương trình thứ hai ta có \(x = 3y - 2\) thế vào phương trình đầu ta được \(0,5\left( {3y - 2} \right) - 1,5y = 1\) suy ra \(0y - 1 = 1\) hay \(0y = 2\) (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của y thỏa mãn.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Thay \(m =  - 2\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \(8x - 4y =  - 12,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}8x - 4y =  - 12\\ - 8x + 9y = 3\end{array} \right..\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {8x - 4y} \right) + \left( { - 8x + 9y} \right) = \left( { - 12} \right) + 3\) nên \(5y =  - 9\) suy ra \(y = \frac{{ - 9}}{5}.\) Thế \(y = \frac{{ - 9}}{5}\) vào phương trình \(2x - y =  - 3\) ta được \(2x - \frac{{ - 9}}{5} =  - 3\) suy ra \(x =  - \frac{{12}}{5}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - \frac{{12}}{5}; - \frac{9}{5}} \right).\)

b) Thay \(m =  - 3\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\ - 18x + 9y = 0\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{9}\), ta được \( - 2x + y = 0,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2y - y =  - 3\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x - y} \right) + \left( { - 2x + y} \right) =  - 3 + 0\) nên \(0x + 0y =  - 3\) (vô lí) . Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm.

c) Thay \(m = 3\) vào hệ phương trình đã cho ta được \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 3\\ - 18x + 9y = 18\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{9}\), ta được \( - 2x + y = 2,\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}2y - y =  - 3\\ - 2x + y = 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {2x - y} \right) + \left( { - 2x + y} \right) =  - 3 + 2\) nên \(0x + 0y =  - 1\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và của y thỏa mãn nên hệ phương trình vô nghiệm. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}12x - 5y + 24 = 0\\ - 5x - 3y - 10 = 0;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x =  - \frac{{77}}{{61}};y = \frac{{108}}{{61}}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( { - \frac{{77}}{{61}};\frac{{108}}{{61}}} \right).\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}x - y = \frac{2}{3}\\x - 3y = 2;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính, màn hình hiển thị “Infinite Sol”. Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2y = 1\\ - x + 2y = 0;\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{1}{2};y = \frac{1}{4}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right).\)

d) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{9}x - \frac{3}{5}y = 11\\\frac{2}{9}x + \frac{1}{5}y =  - 2.\end{array} \right.\)

Bấm máy tính ta được kết quả \(x = \frac{9}{2};y =  - 15.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{9}{2}; - 15} \right).\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 6\\2x - 2y = 14;\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {3x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y} \right) = 6 + 14\) nên \(5x = 20\) suy ra \(x = 4.\)

Thế \(x = 4\) vào phương trình thứ nhất ta được \(3.4 + 2y = 6\) nên \(2y =  - 6\) suy ra \(y =  - 3.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {4; - 3} \right)\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}0,5x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 ta được \(1,5x + 1,5y = 9,\) vậy hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}1,5x + 1,5y = 9\\1,5x - 2y = 1,5;\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta có \(\left( {1,5x + 1,5y} \right) - \left( {1,5x - 2y} \right) = 9 - 1,5\) nên \(3,5y = 7,5\) suy ra \(y = \frac{{15}}{7}.\)

Thế \(y = \frac{{15}}{7}\) vào phương trình thứ hai ta được \(1,5x - 2.\frac{{15}}{7} = 1,5\) nên \(1,5x = \frac{{81}}{7}\) suy ra \(x = \frac{{27}}{7}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {\frac{{27}}{7};\frac{{15}}{7}} \right)\).

c) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\\3x - 9y =  - 12.\end{array} \right.\)

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{2}\) ta được \( - x + 3y = 4,\) nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{1}{3}\) ta được \(x - 3y =  - 4.\)

Vậy hệ đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - x + 3y = 4\\x - 3y =  - 4\end{array} \right.\)

Cộng từng vế của hai phương trình ta có \(\left( { - x + 3y} \right) + \left( {x - 3y} \right) = 4 + \left( { - 4} \right)\) nên \(0x + 0y = 0\) (luôn đúng) .

Ta thấy phương trình luôn đúng với x tùy ý và y tùy ý. Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bởi phương trình \( - x + 3y = 4,\) suy ra \(x = 3y - 4\) nên hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left( {3y - 4;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\). 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được \( - 2x + 2y = 4\) nên hệ phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2y = 4\\ - 2x + 2y = 8\end{array} \right.\)

Trừ từng vế của hai phương trình ta được \(\left( { - 2x + 2y} \right) - \left( { - 2x + 2y} \right) = 4 - 8\) suy ra \(0x + 0y =  - 4\) (vô lí) .

Phương trình này không có giá trị nào của x và y thỏa mãn nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm. 

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)