Chứng minh :
a) \(9+4\sqrt{5}=\left(\sqrt{5}+2\right)^2\)
b) \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt{5}=-2\)
c) \(\left(4-\sqrt{7}\right)^2=23-8\sqrt{7}\)
d) \(\sqrt{23+8\sqrt{7}}-\sqrt{7}=4\)
Bài 2: Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức căn bậc hai của bình phương
Bài 15 (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)
Thảo luận (2)
Bài 14 (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)
Rút gọn các biểu thức sau :
a) \(\sqrt{\left(4+\sqrt{2}\right)^2}\)
b) \(\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}\)
c) \(\sqrt{\left(4-\sqrt{17}\right)^2}\)
d) \(2\sqrt{3}+\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia)\(\sqrt{\left(4+\sqrt{2}\right)^2}=\left|4+\sqrt{2}\right|=4+\sqrt{2}\)
b)\(\sqrt{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}=\left|3-\sqrt{3}\right|=3-\sqrt{3}\)
c)\(\sqrt{\left(4-\sqrt{17}\right)^2}=\left|4-\sqrt{17}\right|=\sqrt{17}-4\)
d)\(2\sqrt{3}+\sqrt{\left(2-\sqrt{3}\right)^2}=2\sqrt{3}+\left|2-\sqrt{3}\right|=2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\)
(Trả lời bởi Trần Thị Tâm Phúc )
Bài 19 (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
Rút gọn các phân tử :
a) \(\dfrac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}\) ( với \(x\ne-\sqrt{5}\))
b) \(\dfrac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}\) (với \(x\ne\pm\sqrt{2}\) )
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\dfrac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}\)(với x khác -\(\sqrt{5}\)) =\(\dfrac{\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)}{x+\sqrt{5}}\) = x-\(\sqrt{5}\) vậy \(\dfrac{x^2-5}{x+\sqrt{5}}\) = x-\(\sqrt{5}\) với x khác -\(\sqrt{5}\) b) \(\dfrac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}\) ( với x khác +-\(\sqrt{2}\) ) = \(\dfrac{\left(x+\sqrt{2}\right)^2}{\left(x+\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)}\) =\(\dfrac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}\) vậy \(\dfrac{x^2+2\sqrt{2}x+2}{x^2-2}\) =\(\dfrac{x+\sqrt{2}}{x-\sqrt{2}}\) với x khác +-\(\sqrt{2}\)
(Trả lời bởi đỗ hải anh)
Bài 16 * (Sách bài tập - tập 1 - trang 7)
Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của \(x\) ?
a) \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\)
b) \(\sqrt{x^2-4}\)
c) \(\sqrt{\dfrac{x-2}{x+3}}\)
d) \(\sqrt{\dfrac{2+x}{5-x}}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia, Để \(\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}\) xác định thì (x-1)(x-3)\(\ge\)0
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x-3\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x\ge3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}x\ge3}\)TH2:\(\left\{{}\begin{matrix}x-1\le0\\x-3\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le1\\x\le3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}x\le1}\) Vậy nếu \(x\ge3\) hoặc \(x\le1\) thì biểu thức có nghĩa
b, Để \(\sqrt{x^2-4}=\sqrt{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)có nghĩa thì (x-2)(x+2)\(\ge0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\x+2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\ge-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge}2}\)TH2:\(\left\{{}\begin{matrix}x-2\le0\\x+2\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le2\\x\le-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}x\le-2}\)Vậy nếu \(x\ge2\) hoặc \(x\le-2\) thì biểu thức có nghĩa
(Trả lời bởi phạm hương trà)
Bài 18 (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
Phân tích thành nhân tử :
a) \(x^2-7\)
b) \(x^2-2\sqrt{2}x+2\)
c) \(x^2+2\sqrt{13}x+13\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia, \(x^2-7=x^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=\left(x-\sqrt{7}\right)\left(x+\sqrt{7}\right)\)
b, \(x^2-2\sqrt{2}x+2=x^2-2\sqrt{2}x+\left(\sqrt{2}\right)^2=\left(x-\sqrt{2}\right)^2\)
c, \(x^2+2\sqrt{13}x+13=x^2+2\sqrt{13}x+\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(x+\sqrt{13}\right)^2\)
(Trả lời bởi phạm hương trà)
Bài 20 (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)
a) \(6+2\sqrt{2}\) và 9
b) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) và 3
c) \(9+4\sqrt{5}\) và 16
d) \(\sqrt{11}-\sqrt{3}\) và 2
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia. Ta có : \(\sqrt{8}< \sqrt{9}\) ( vì 8< 9)
hay \(2\sqrt{2}< 3\)
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{2}+6< 3+6\)
hay \(2\sqrt{2}+6< 9\)
b. Ta có : \(\sqrt{6}>\sqrt{4}\) (vì 6 > 4 )
hay \(\sqrt{2.3}>2\)
\(\Rightarrow\) 2\(\sqrt{2.3}\) > 4
\(\Rightarrow\) 2 + \(2\sqrt{2.3}\) + 3 > 9
hay \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)> 9
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}>3\)
c. Ta có: \(\sqrt{80}>\sqrt{49}\) (vì 80>49)
hay \(4\sqrt{5}\) > 7
\(\Rightarrow\) 9 + \(4\sqrt{5}\) > 16
d. Ta có : \(2\sqrt{33}>2\sqrt{25}\) (vì 33> 25 ) hay \(2\sqrt{23}>2.5\)
\(\Rightarrow\) - \(2\sqrt{33}\) < - 2.5
\(\Rightarrow\) 11 - \(2\sqrt{11.3}\) +3 < 11- 2.5 +3
hay \(\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2\) < 4
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{11}-\sqrt{3}< 2\)
(Trả lời bởi katherina)
Bài 22 (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức :
\(\sqrt{\left(n+1\right)^2}+\sqrt{n^2}=\left(n+1\right)^2-n^2\)
Viết đẳng thức trên khi n là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Bài 2.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
Đẳng thức nào đúng nếu \(x\) là số âm :
(A) \(\sqrt{9x^2}=9x\)
(B) \(\sqrt{9x^2}=3x\)\
(C) \(\sqrt{9x^2}=-9\)
(D) \(\sqrt{9x^2}=-3x\)
Hãy chọn đáp án đúng ?
Thảo luận (3)Hướng dẫn giảiCông thức D đúng
(Trả lời bởi Magic Kid)
Bài 21 (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
Rút gọn các biểu thức :
a) \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}\)
b) \(\sqrt{11+6\sqrt{2}}-3+\sqrt{2}\)
c) \(\sqrt{9x^2-2x}\) với \(x< 0\)
d) \(x-4+\sqrt{16-8x+x^2}\) với \(x>4\)
Thảo luận (3)Hướng dẫn giảia, Ta có : \(4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=\left(\sqrt{3}\right)^2-2\sqrt{3}\times1+1^2=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}-\sqrt{3}=\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}\)
Ta có : \(\sqrt{3}>\sqrt{1}\)(vì 3>1)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}>1\Leftrightarrow\sqrt{3}-1>0\Rightarrow\left|\sqrt{3}-1\right|=\sqrt{3}-1\)
Ta có: \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\left|\sqrt{3}-1\right|-\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\sqrt{3}=-1\)
(Trả lời bởi phạm hương trà)
Bài 17 * (Sách bài tập - tập 1 - trang 8)
Tìm \(x\), biết :
a) \(\sqrt{9x^2}=2x+1\)
b) \(\sqrt{x^2+6x+9}=3x-1\)
c) \(\sqrt{1-4x+4x^2}=5\)
d) \(\sqrt{x^4}=7\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\sqrt{9x^2}=2x+1\) (1)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left|x\right|=2x+1\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left|x\right|-2x=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x-2x=1\left(đk:x\ge0\right)\\3\cdot\left(-x\right)-2x=1\left(đk:x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(đk:x\ge0\right)\\x=-\dfrac{1}{5}\left(đk:x< 0\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình (1) là \(S=\left\{-\dfrac{1}{5};1\right\}\)
b) \(\sqrt{x^2+6x+9}=3x-1\) (2)
\(\Leftrightarrow x^2+6x+9=\left(3x-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+6x+9=9x^2-6x+1\)
\(\Leftrightarrow x^2+6x+9-9x^2+6x-1=0\)
\(\Leftrightarrow-8x^2+12x+8=0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-3x-4=0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{-\left(-3\right)\pm\sqrt{\left(-3\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-2\right)}}{2\cdot2}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{9+16}}{4}\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm5}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{3+5}{4}\\x=\dfrac{3-5}{4}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
sau khi dùng phép thử ta nhận thấy \(x\ne-\dfrac{1}{2}\)
Vậy tập nghiệm phương trình (2) là \(S=\left\{2\right\}\)
c) \(\sqrt{1-4x+4x^2}=5\) (3)
\(\Leftrightarrow1-4x+4x^2=25\)
\(\Leftrightarrow\left(1-2x\right)^2=25\)
\(\Leftrightarrow1-2x=\pm5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-2x=5\\1-2x=-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=3\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình (1) là \(S=\left\{-2;3\right\}\)
d) \(\sqrt{x^4}=7\) (4)
\(\Leftrightarrow x^2=7\)
\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{7}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{7}\\x=-\sqrt{7}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm phương trình (4) là \(S=\left\{-\sqrt{7};\sqrt{7}\right\}\)
(Trả lời bởi qwerty)