Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian

Hướng dẫn giải

Đường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {2;1;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( {0;3;3} \right)\). Do đó:

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + 3t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.\)

Vì \({x_A} = {x_B}\) nên không có phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng MN đi qua điểm \(M\left( {2;3; - 4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 3;12} \right)\) nên phương trình tham số của đường thẳng MN là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 3 - 3t\\z =  - 4 + 12t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

b) Mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\) nên phương trình mặt phẳng Oxy: \(z = 0\)

Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với (Oxy) nên D\(\left( {2 - 3t;3 - 3t; - 4 + 12t} \right)\)

Mà D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên \( - 4 + 12t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}\). Do đó, \(D\left( {1;2;0} \right)\).

c) Ta có: \(MD = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 + 4} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {ND} \left( {2;2; - 8} \right) \Rightarrow ND = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}}  = 6\sqrt 2 \), \(MN = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + \left( { - {3^2}} \right) + {{12}^2}}  = 9\sqrt 2 \)

Do đó, \(MD + ND = MN\). Mà D thuộc đường thẳng MN suy ra điểm D nằm giữa hai điểm M và N.

Do đó, tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau.

b) Nếu \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau thì giá của \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) vuông góc với nhau. Khi đó, \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0 \Rightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0\).

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {2;1; - 1} \right)\). Trục Oz có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\).

Vì \(2.0 + 1.0 - 1.1 =  - 1 \ne 0\) nên đường thẳng \(\Delta \) không vuông góc với trục Oz.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;1;0} \right)\)

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 2;2;0} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}}  = 1.\left( { - 2} \right) + 1.2 + 0.0 = 0\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) vuông góc với nhau.

Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

a) Để \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) song song hoặc trùng nhau. Suy ra, \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.

b) Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) mà \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\) nên \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \({A_1}\) trùng \({A_2}\). Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.

c) Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0\) nên \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}}  \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).

Lại có: \(\frac{{3 - 1}}{1} \ne \frac{{0 - 2}}{{ - 2}} \ne \frac{1}{3}\) nên điểm \({A_1}\left( {3;0;1} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).

Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

a) Vì \(\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).

Lại có: \(\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}\) nên điểm \({A_1}\left( {1; - 2;3} \right)\) không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).

Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] =  - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và Ox chéo nhau.

c) Đường thẳng \({\Delta _3}\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_3}}  = \left( {1;1;4} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{u_3}}  = \overrightarrow {{u_2}} \) nên \(\overrightarrow {{u_3}} \) cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \).

Lại có: \(\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}\) nên điểm \({A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)\) thuộc đường thẳng \({\Delta _3}\).

Do đó, đường thẳng \({\Delta _2}\) trùng với đường thẳng \({\Delta _3}\).

d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) và đi qua điểm O(0;0;0)

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)\), \(\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)\)

Vì \(\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0\) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _2}\) cắt trục Oz.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

\({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2;1; - 1} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2;3} \right)\)

Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương. Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau hoặc chéo nhau.

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2t = s\\3 + t = 1 + 2s\\1 - t = 3s\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}s - 2t = 1\;\left( 1 \right)\\2s - t = 2\;\left( 2 \right)\\3s + t = 1\;\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) và (2) ta có: \(s = 1;t = 0\), thay vào (3) ta thấy không thỏa mãn phương trình.

Do đó, hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.

(Trả lời bởi datcoder)

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_1}} =\left( {2;1;3} \right)\).

Gọi d’ là đường thẳng đi qua B và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{v_2}} =\left( {1;2;1} \right)\).

Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \) và \(\overrightarrow {{v_2}} \) không cùng phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;1;3} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2;3;0} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ;\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5} \right).2 + 1.3 + 3.0 =  - 7 \ne 0\) nên d và d’ chéo nhau.

Do đó, hai vật trên không va chạm vào nhau.

(Trả lời bởi datcoder)