Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng D đi qua điểm A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng \(d:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z+5}{3}\).
Bài 15. Phương trình đường thẳng trong không gian
Bài 5.11 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 48)
Thảo luận (1)
Bài 5.12 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 48)
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng D đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 3y – z – 1 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x + 3y - z - 1 = 0\) nên đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow u \left( {1;3; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương. Mà đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {2; - 1;4} \right)\) nên:
Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 1 + 3t\\z = 4 - t\end{array} \right.\)
Phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) là: \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\).
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.13 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 48)
Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng D đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường thẳng AB đi qua điểm \(A\left( {2;3; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 5;5} \right)\). Do đó:
Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 3 - 5t\\z = - 1 + 5t\end{array} \right.\).
Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} = \frac{{z + 1}}{5}\).
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.14 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 48)
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:Delta_1:left{{}begin{matrix}x1+2ty3-tz2+3tend{matrix}right. và Delta_2:dfrac{x-8}{-1}dfrac{y+2}{-1}dfrac{z-2}{2}a) Chứng minh rằng Delta_1 và Delta_2 cắt nhau.b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Delta_1 và Delta_2.
Đọc tiếp
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
\(\Delta_1:\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\\z=2+3t\end{matrix}\right.\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-8}{-1}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-2}{2}\)
a) Chứng minh rằng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;3} \right)\) và đi qua điểm \({A_1}\left( {1;3;2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;2} \right)\) và đi qua điểm \({A_2}\left( {8; - 2;2} \right)\).
Vì \(\frac{1}{8} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\1&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5; - 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \left( {7; - 5;0} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 7.\left( { - 5} \right) + \left( { - 5} \right).\left( { - 7} \right) + 0.1 = 0\), \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
b) Vì mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\), \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau nên mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 5; - 7;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \({A_1}\left( {1;3;2} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \( - 5\left( {x - 1} \right) - 7\left( {y - 3} \right) + 1\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow - 5x - 7y + z + 24 = 0\).
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.15 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 48)
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
\(\Delta_1:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-3}{1}=\dfrac{z-2}{2}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{z}{2}\)..
a) Chứng minh rằng Δ1 và Δ2 song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa Δ1 và Δ2.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {3;1;2} \right)\).
Vì \(\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương.
Lại có: \(\frac{{1 - 1}}{3} \ne \frac{{3 + 1}}{1}\) nên điểm A không thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\).
Do đó, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song nhau.
b) Đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(B\left( {1; - 1;0} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {0; - 4; - 2} \right)\) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {3;1;2} \right)\).
Lại có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\{ - 4}&{ - 2}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\{ - 2}&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\0&{ - 4}\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;6; - 12} \right)\)
Do đó, mặt phẳng (P) chứa \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) nhận \(\frac{1}{6}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến. Lại có, điểm \(A\left( {1;3;2} \right)\) thuộc mặt phẳng (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là: \(x - 1 + y - 3 - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2z = 0\).
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.16 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 48)
Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
\(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-1+t\\y=1\\z=3+2t\end{matrix}\right.\) và \(\Delta_2:\left\{{}\begin{matrix}x=-1+2s\\y=2+s\\z=1+3s\end{matrix}\right.\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiĐường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;0;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;1;3} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( { - 1;2;1} \right)\).
Vì \(\frac{1}{2} \ne \frac{0}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&2\\1&3\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&2\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\2&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 2;1;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {0;1; - 2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0.\left( { - 2} \right) + 1.1 + \left( { - 2} \right).1 = - 1 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.17 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 49)
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: Delta_1:dfrac{x-1}{2}dfrac{y}{-1}dfrac{z+1}{3} và Delta_2:dfrac{x-3}{-1}dfrac{y+1}{1}dfrac{z}{1}.a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
Đọc tiếp
Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
\(\Delta_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{3}\) và \(\Delta_2:\dfrac{x-3}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z}{1}\).
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đường thẳng \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.1 = 0\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \). Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.
b) Đường thẳng \({\Delta _1}\) đi qua điểm \(A\left( {1;0; - 1} \right)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) đi qua điểm \(B\left( {3; - 1;0} \right)\)
Vì \(\frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 1}}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \)
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4; - 5;1} \right) \ne \overrightarrow 0 \), \(\overrightarrow {AB} \left( {2; - 1;1} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 4} \right).2 + \left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 = - 2 \ne 0\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) chéo nhau.
Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.18 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 49)
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là overrightarrow{v}left(2;1;6right). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?a) Mục tiêu đặt tại điểm M(7; dfrac{7}{2}; 21).b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).
Đọc tiếp
Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là \(\overrightarrow{v}=\left(2;1;6\right)\). Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm M(7; \(\dfrac{7}{2}\); 21).
b) Mục tiêu đặt tại điểm N(−3; 1; −8).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow {AM} \left( {6;\frac{1}{2};17} \right)\). Vì \(\frac{6}{2} \ne \frac{1}{{\frac{1}{2}}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow v \) không cùng phương. Do đó, viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm M.
b) Ta có: \(\overrightarrow {AN} = \left( { - 4; - 2; - 12} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AN} = - 3\overrightarrow v \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AN} \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương và \(AN = 3v\). Do đó, viên đạn trên không bắn trúng mục tiêu đặt tại điểm N trong 3 giây.
(Trả lời bởi datcoder)
Bài 5.19 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 49)
Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột t...
Đọc tiếp
Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại ví trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc tọa độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(A\left( {0;0;6} \right),A'\left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) nên \(\overrightarrow {AA'} \left( {\frac{3}{2};\frac{{3\sqrt 3 }}{2}; - 6} \right) \Rightarrow \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2} \right)\)
Đường thẳng AA’ đi qua điểm \(A\left( {0;0;6} \right)\) và nhận \(\frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} = \left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AA’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}t\\y = \frac{{\sqrt 3 }}{2}t\\z = 6 - 2t\end{array} \right.\) và phương trình chính tắc là \(\frac{x}{{\frac{1}{2}}} = \frac{y}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}} \Rightarrow \frac{{2x}}{1} = \frac{{2\sqrt 3 y}}{3} = \frac{{z - 6}}{{ - 2}}\).
(Trả lời bởi datcoder)