Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?
Bài 14. Phương trình mặt phẳng
Mở đầu (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 29)
Thảo luận (0)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 29)
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến overrightarrow{n}, giá của vectơ overrightarrow{n} vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì overrightarrow{n} có phương gì? (H.5.1)
Đọc tiếp
Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến \(\overrightarrow{n}\), giá của vectơ \(\overrightarrow{n}\) vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow{n}\) có phương gì? (H.5.1)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiNếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì \(\overrightarrow n \) có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 30)
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên giá của \(\overrightarrow {AB} \bot \left( \alpha \right)\).
Do đó, một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 4;2; - 2} \right)\).
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 30)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ overrightarrow{u} (a; b; c) và overrightarrow{v} (a′; b′; c′).a) Vectơ overrightarrow{n} (bc′ − b′c; ca′ − c′a; ab′ − a′b) có vuông góc với cả hai vectơ overrightarrow{u} và overrightarrow{v} hay không?b) overrightarrow{n}overrightarrow{0} khi và chỉ khi overrightarrow{u} và overrightarrow{v} có mối quan hệ gì?
Đọc tiếp
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) = (a; b; c) và \(\overrightarrow{v}\) = (a′; b′; c′).
a) Vectơ \(\overrightarrow{n}\) = (bc′ − b′c; ca′ − c′a; ab′ − a′b) có vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) hay không?
b) \(\overrightarrow{n}=\overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{u}\) và \(\overrightarrow{v}\) có mối quan hệ gì?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow u = a\left( {bc' - b'c} \right) + b\left( {ca' - c'a} \right) + c\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = abc' - ab'c + cba' - abc' + ab'c - a'bc = \left( {abc' - abc'} \right) - \left( {ab'c - ab'c} \right) + \left( {cba' - cba'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow u \).
Ta có: \(\overrightarrow n .\overrightarrow v = a'\left( {bc' - b'c} \right) + b'\left( {ca' - c'a} \right) + c'\left( {ab' - a'b} \right)\)
\( = a'bc' - a'b'c + cb'a' - ab'c' + ab'c' - a'bc'\)
\( = \left( {a'bc' - a'bc'} \right) - \left( {a'b'c - a'b'c} \right) + \left( {ab'c' - ab'c'} \right) = 0\)
Do đó, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow v \).
Suy ra, vectơ \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \).
b) Nếu \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}bc' - b'c = 0\\ca' - c'a = 0\\ab' - a'b = 0\end{array} \right.\left( I \right)\)
+ Với \(a = 0,b = 0,c = 0\) thì (I) luôn đúng. Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
+ Với \(a \ne 0,b \ne 0,c \ne 0\), từ (I) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{b'}}{b} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{a'}}{a} = \frac{{c'}}{c}\\\frac{{b'}}{b} = \frac{{a'}}{a}\end{array} \right.\), do đó, \(a' = ka,b' = kb,c' = kc\;\;\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow v = k\overrightarrow u \). Khi đó, \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
Vậy \(\overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) khi và chỉ khi \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) cùng phương.
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 31)
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow{u}\) = (2; 3; 1) và \(\overrightarrow{v}\) = (4; 6; 2). Tính[\(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\)].
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;1\\6\;\;2\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}1\;\;2\\2\;\;4\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}2\;\;3\\4\;\;6\end{array} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 31)
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ overrightarrow{u},overrightarrow{v} không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).a) Vectơ [overrightarrow{u},overrightarrow{v}] có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của overrightarrow{u},overrightarrow{v} hay không?b) Mặt phẳng (P) có nhận [overrightarrow{u},overrightarrow{v}] làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Đọc tiếp
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).
a) Vectơ [\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\)] có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\) hay không?
b) Mặt phẳng (P) có nhận [\(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\)] làm một vectơ pháp tuyến hay không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có khác vectơ-không và giá của \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\)vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nếu hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương.
b) Vì hai vectơ \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) có giá vuông góc với cả hai giá của \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) nên giá của vectơ \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 31)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2; 1), B(−2; 1; 0), C(−2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;3; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;5;1} \right)\). Vì \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là các vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) nên mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.
\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| \begin{array}{l}3\;\;\; - 1\\\;5\;\;\;\;\;1\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 1\;\; - 3\\\;\;1\;\; - 3\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} - 3\;\;3\\ - 3\;\;5\end{array} \right|} \right) = \left( {8;6; - 6} \right)\)
(Trả lời bởi datcoder)
Vận dụng 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 31)
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực overrightarrow{F} để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực overrightarrow{M} được tính bởi công thức overrightarrow{M} [ overrightarrow{OP},overrightarrow{F} ] .a) Cho overrightarrow{OP} ( x; y; z ) , overrightarrow{F} ( a; b; c ) . Tính overrightarrow{M} .b) Giải thích vì sao, nế...
Đọc tiếp
Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực \(\overrightarrow{F}\) để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực \(\overrightarrow{M}\) được tính bởi công thức \(\overrightarrow{M}\) = [ \(\overrightarrow{OP}\),\(\overrightarrow{F}\) ] .
a) Cho \(\overrightarrow{OP}\) = ( x; y; z ) , \(\overrightarrow{F}\) = ( a; b; c ) . Tính \(\overrightarrow{M}\) .
b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động → F trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho \(\overrightarrow{OP'}\) = 2 \(\overrightarrow{OP}\) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {OP} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}y&z\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}z&x\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\)
Do đó, \(\overrightarrow M = \left( {cy - bz;za - cx;xb - ay} \right)\).
b) Ta có: \(\overrightarrow {OP'} = \left( {2x;2y;2z} \right)\). Khi đó, moment lực là: \(\overrightarrow {M'} = \left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right]\)
Do đó, \(\left[ {\overrightarrow {OP'} ,\overrightarrow F } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2y}&{2z}\\b&c\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2z}&{2x}\\c&a\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2x}&{2y}\\a&b\end{array}} \right|} \right) = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right)\)
Suy ra: \(\overrightarrow {M'} = \left( {2cy - 2bz;2za - 2cx;2xb - 2ay} \right) = 2\overrightarrow M \)
Vậy khi giữ nguyên lực tác động \(\overrightarrow F \) trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P’ sao cho \(\overrightarrow {OP'} = 2\overrightarrow {OP} \) thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi.
Từ đó, ta rút ra kết luận là nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P cách con ốc ở vị trí O càng lớn thì càng đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc.
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 31)
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi overrightarrow{n}left(A;B;Cright) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc (α).a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ overrightarrow{n} và overrightarrow{M_0M} có mối quan hệ gì?b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
Đọc tiếp
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc (α).
a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{M_0M}\) có mối quan hệ gì?
b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.
b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\). Vì M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M} \).
Suy ra: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 31)
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?
a) x2 + 2y2 + 3z2 – 1 = 0; b) \(\dfrac{x}{2}-y+\dfrac{z}{3}+5=0\); c) xy + 5 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng vì phương trình không có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\).
b) Đây là phương trình tổng quát của một mặt phẳng.
c) Đây không phải là phương trình tổng quát của một mặt phẳng vì phương trình không có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\).
(Trả lời bởi datcoder)