Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi \(\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc (α).
a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow{n}\) và \(\overrightarrow{M_0M}\) có mối quan hệ gì?
b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?
a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) vuông góc với nhau.
b) Ta có: \(\overrightarrow {{M_o}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\). Vì M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) thì \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_o}M} \).
Suy ra: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Vậy điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) + C\left( {z - {z_0}} \right) = 0\).