Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2+4x-5y+6z+\dfrac{25}{4}=0\). Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Bài 17. Phương trình mặt cầu
Luyện tập 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 56)
Thảo luận (1)
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 56)
Trong không gian Oxyz, cho (S) là tập hợp các điểm M(x; y; z) có tọa độ thỏa mãn phương trình
(S): x2 + y2 + z2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Chứng minh rằng (S) là một mặt cầu. Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 6y - 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4x + 4} \right) + \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + {z^2} = 25\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = {5^2}\)
Do đó, (S) là mặt cầu có tâm \(I\left( {2; - 3;0} \right)\) và bán kính \(R = 5\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài 5.26 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 59)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(−2; 0; 5) và bán kính R = 2.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiMặt cầu (S) tâm \(I\left( { - 2;0;5} \right)\), bán kính \(R = 2\) có phương trình là:
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 4\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Luyện tập 5 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 58)
Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: 45°N, 30°E.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên \(A\left( {1;0;0} \right)\), do đó \(\overrightarrow {OA} \left( {1;0;0} \right)\).
Ta có: \(B\left( {\cos {{45}^o}\cos {{30}^o},\cos {{45}^o}\sin {{30}^o},\sin {{45}^o}} \right)\) nên \(\overrightarrow {OB} \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\)
Vì A, B thuộc mặt đất nên \(\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1\)
Do đó, \(\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \widehat {AOB} \approx 52,{2388^o}\)
Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua A, B bán kính 1 và chu vi là \(2\pi \approx 6,2832\) nên cung nhỏ AB của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng \(\frac{{52,2388}}{{360}}.6,2832 \approx 0,9117\)
Do 1 đơn vị độ dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371km trên thực tế, nên khoảng cách giữa hai vị trí A, B xấp xỉ bằng \(0,9117.6\;371 = 5\;808,4407\left( {km} \right)\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài 5.25 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 59)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+z^2=9\). Xác định tâm và bán kính của (S).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa viết lại phương trình mặt cầu (S) dưới dạng: \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left[ {y - \left( { - 1} \right)} \right]^2} + {\left( {z - 0} \right)^2} = {3^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {\frac{1}{2}; - 1;0} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài 5.27 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 59)
Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(0; 3; −1) và có bán kính bằng khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): 3x + 2y – z = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.3 - 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\) nên bán kính của mặt cầu (S) là \(R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\).
Do đó, phương trình của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {0;3; - 1} \right)\) và có bán kính \(R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}\) là: \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{7}{2}\)
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài 5.29 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 59)
Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.
a) x2 + y2 + z2 – 2x – 5z + 30 = 0;
b) x2 + y2 + z2 – 4x + 2y – 2z = 0;
c) x3 + y3 + z3 – 2x + 6y – 9z – 10 = 0;
d) x2 + y2 + z2 + 5 = 0.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 1,b = 0,c = \frac{5}{2},d = 30\).
Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {0^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = \frac{{ - 91}}{4} < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.
b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 2,b = - 1,c = 1,d = 0\).
Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - {0^2} = 6 > 0\). Do đó, phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \(\left( {2; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
c) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.
d) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 0,b = 0,c = 0,d = 5\).
Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {0^2} - {5^2} = - 25 < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài 5.30 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 59)
Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí A(2; 0; 0). Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1.Hỏi vị trí M(2; 1; 1) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \(MA = \sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 2 > 1 = R\) nên vị trí M không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Bài 5.28 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 59)
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 2y + 8z – 18 = 0. Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) + \left( {{z^2} + 8z + 16} \right) = 36\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = {6^2}\)
Do đó, mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 1;1; - 4} \right)\) và bán kính \(R = 6\).
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
Trải nghiệm (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 58)
Trên Google Maps, thực hiện phép đo khoảng cách từ vị trí 0°N, 0°E đến vị trí 45°N, 30°E và so sánh với kết quả tính được ở Luyện tập 5.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiBước 1: Truy cập vào Google Maps.
Bước 2: Trên thanh tìm kiếm nhập 0°N, 0°E. Google Maps chuyển đến vị trí đó.
Bước 3. Nhấp vào vị trí đó và chuột phải chọn “Đo khoảng cách”.
Bước 4: Trên thanh tìm kiếm nhập 45°N, 30°E và nhấn enter. Google Maps đưa đến vị trí này.
Bước 5: Nhấp chuột vào vị trí này. Một đường thẳng hiện ra kèm thêm khoảng cách giữa hai vị trí này.
Kết quả như hình vẽ sau:
Từ đây ta thấy kết quả đo tương đối chính xác với kết quả tính ở luyện tập 5.
(Trả lời bởi Nguyễn Quốc Đạt)
