Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Hướng dẫn giải

a) Với \(x =  - 3\), ta có: \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 5} \right) = \left( { - 3 + 3} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0.\left( {2x - 5} \right) = 0\).

Với \(x = \frac{5}{2}\), ta có: \(\left( {x + 3} \right)\left( {2x - 5} \right) = \left( {x + 3} \right)\left( {2.\frac{5}{2} - 5} \right) = \left( {x + 3} \right).0 = 0\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x =  - 3\) và \(x = \frac{5}{2}\).

b) Nếu số \({x_0}\) khác -3 và khác \(\frac{5}{2}\) thì \({x_0}\) không phải là nghiệm của phương trình.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left( {x - 7} \right)\left( {5x + 4} \right) = 0\)

\(x - 7 = 0\) hoặc \(5x + 4 = 0\)

\(x = 7\) hoặc \(x = \frac{{ - 4}}{5}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 7\) và \(x = \frac{{ - 4}}{5}\).

b) Ta có: \(\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0\)

\(2x + 9 = 0\) hoặc \(\frac{2}{3}x - 5 = 0\)

\(x =  - 3\) hoặc \(\frac{2}{3}x = 5\)

\(x =  - 3\) hoặc \(x = \frac{{15}}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x =  - 3\) và \(x = \frac{{15}}{2}\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(2x\left( {x + 6} \right) + 5\left( {x + 6} \right) = 0\)

\(\left( {x + 6} \right)\left( {2x + 5} \right) = 0\)

\(x + 6 = 0\) hoặc \(2x + 5 = 0\)

\(x =  - 6\) hoặc \(x = \frac{{ - 5}}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x =  - 6\) và \(x = \frac{{ - 5}}{2}\).

b) Ta có: \(x\left( {3x + 5} \right) - 6x - 10 = 0\)

\(x\left( {3x + 5} \right) - 2\left( {3x + 5} \right) = 0\)

\(\left( {3x + 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\)

\(3x + 5 = 0\) hoặc \(x - 2 = 0\)

\(x = \frac{{ - 5}}{3}\) hoặc \(x = 2\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \frac{{ - 5}}{3}\) và \(x = 2\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Khi quả bóng gôn chạm đất thì độ cao của nó so với mặt đất là \(0\) (mét) nên \(h = 0\).

Khi đó ta có: \(0 = t\left( {20 - 5t} \right)\)

\(t = 0\) hoặc \(20 - 5t = 0\)

\(t = 0\) hoặc \(5t = 20\)

\(t = 0\) hoặc \(t = 4\).

Vì quả bóng gôn đã được đánh đi và chạm đất nên \(t \ne 0\) suy ra \(t = 4\) thỏa mãn đề bài.

Vậy thời gian bay của quả bóng kể từ khi được đánh đến khi chạm đất là \(4\) giây.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)

\(\begin{array}{l}2x + \frac{1}{{x - 2}} - 4 = \frac{1}{{x - 2}}\,\,\\\frac{{2x(x - 2)}}{{x - 2}} + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{4(x - 2)}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\\\frac{{2x(x - 2) + 1 - 4(x - 2)}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\\\frac{{2{x^2} - 4x + 1 - 4x + 8}}{{x - 2}} = \frac{1}{{x - 2}}\\\frac{{2{x^2} - 8x + 8}}{{x - 2}} = 0\\\frac{{2({x^2} - 4x + 4)}}{{x - 2}} = 0\\\frac{{2{{(x - 2)}^2}}}{{x - 2}} = 0\end{array}\)

Nếu \(x - 2 = 0\) thì phương trình vô nghĩa.

Nếu \(x - 2 \ne 0\) suy ra \(x \ne 2\) thì phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}2(x - 2) = 0\\2x - 4 = 0\end{array}\)

Vậy để biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) thì \(x \ne 2\).

b) Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được:

\(\begin{array}{l}2.2 + \frac{1}{{2 - 2}} - 4 = \frac{1}{{2 - 2}}\,\,\\0 + \frac{1}{0} - 4 = \frac{1}{0}\end{array}\)

Điều này là vô lí nên \(x = 2\) không phải là nghiệm của phương trình (1).

c) Thay \(x = 2\) vào phương trình (2) ta được:

\(\begin{array}{l}2.2 - 4 = 0\\4 - 4 = 0\\0 = 0\end{array}\)

Điều này luôn đúng nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình (2).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{5}{{x + 7}} = \frac{{ - 14}}{{x - 5}}\)

Điều kiện xác định: \(x + 7 \ne 0\) và \(x - 5 \ne 0\)

khi \(x \ne  - 7\) và \(x \ne 5\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne  - 7\) và \(x \ne 5\).

b) \(\frac{3}{{3x - 2}} = \frac{x}{{x + 2}} - 1\)

Điều kiện xác định: \(3x - 2 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\)

khi \(x \ne \frac{2}{3}\) và \(x \ne  - 2\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne \frac{2}{3}\) và \(x \ne  - 2\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: \(x - 2 \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\)

khi    \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 1\).

Vậy điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 2\) và \(x \ne  - 1\).

b) \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{1}{{x + 1}} + 1\)

Quy đồng vế phải với mẫu thức chung là \(x + 1\): \(\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\)

Quy đồng cả hai vế với mẫu thức chung là \((x - 2)(x + 1)\): \(\frac{{x(x + 1)}}{{(x - 2)(x + 1)}} = \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{(x + 1)(x - 2)}}\)

Hai phân thức bằng nhau có cùng mẫu thì tử bằng nhau.\({x^2} + x = {x^2} - 4\)

Giải phương trình ta được \(x =  - 4\)

c) Thay \(x =  - 4\) vào phương trình, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 4}}{{( - 4) - 2}} = \frac{1}{{( - 4) + 1}} + 1\\\frac{{ - 4}}{{ - 6}} = \frac{1}{{ - 3}} + 1\\\frac{2}{3} = \frac{2}{3}\\\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0\\0 = 0\end{array}\)

Điều này luôn đúng nên \(x =  - 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

Vậy \(x =  - 4\) là nghiệm của phương trình đã cho.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\)

Điều kiện xác định: \(x \ne  - 5\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 6}}{{x + 5}} + \frac{3}{2} = 2\\\frac{{2(x + 6)}}{{2(x + 5)}} + \frac{{3(x + 5)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{2.2(x + 5)}}{{2(x + 5)}}\\2x + 12 + 3x + 15 = 4x + 20\\x =  - 7\end{array}\)

Ta thấy: \(x =  - 7\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x =  - 7\).

b) \(\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 3)(x - 2)}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} - \frac{3}{{x - 3}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 3)(x - 2)}}\\\frac{{2(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}} - \frac{{3(x - 2)}}{{(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{3x - 20}}{{(x - 2)(x - 3)}}\\2x - 6 - 3x + 6 = 3x - 20\\4x = 20\\x = 5\end{array}\)

Ta thấy \(x = 5\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 5\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi tốc độ lúc đi của ô tô là \(x\) (km/h), \(x > 0\).

Thời gian lúc đi của ô tô là \(\frac{{120}}{x}\) (giờ).

Tốc độ lúc về của ô tô là \(x + 20\% x = 1,2x\) (km/h).

Thời gian lúc về của ô tô là \(\frac{{120}}{{1,2x}}\) (giờ).

Đổi 4 giờ 24 phút = \(\frac{{22}}{5}\) giờ.

Vì tổng thời gian đi và về của ô tô là 4 giờ 24 phút nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{120}}{x} + \frac{{120}}{{1,2x}} = \frac{{22}}{5}\\\frac{{120.6}}{{6x}} + \frac{{120.5}}{{6x}} = \frac{{22.1,2x}}{{6x}}\\720 + 600 = \frac{{132}}{5}x\\x = 50\end{array}\)

Ta thấy \(x = 50\) thỏa mãn điều kiện.

Vậy tốc độ lúc đi của ô tô là 50km/h.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(5x(2x - 3) = 0\)

\(5x = 0\) hoặc \(2x - 3 = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = \frac{3}{2}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 0\) và \(x = \frac{3}{2}\).

b) \((2x - 5)(3x + 6) = 0\)

\(2x - 5 = 0\) hoặc \(3x + 6 = 0\)

\(x = \frac{5}{2}\) hoặc \(x =  - 2\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{5}{2}\) và \(x =  - 2\).

c) \(\left( {\frac{2}{3}x - 1} \right)\left( {\frac{1}{2}x + 3} \right) = 0\)

\(\frac{2}{3}x - 1 = 0\) hoặc \(\frac{1}{2}x + 3 = 0\)

\(x = \frac{3}{2}\) hoặc \(x =  - 6\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{3}{2}\) và \(x =  - 6\).

d) \((2,5t - 7,5)(0,2t + 5) = 0\)

\(2,5t - 7,5 = 0\) hoặc \(0,2t + 5 = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x =  - 25\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\) và \(x =  - 25\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)