Bài 1. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Hướng dẫn giải

a) \(3x(x - 4) + 7(x - 4) = 0\)

\((x - 4)(3x + 7) = 0\)

\(x - 4 = 0\) hoặc \(3x + 7 = 0\)

\(x = 4\) hoặc \(x = \frac{{ - 7}}{3}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 4\) và \(x = \frac{{ - 7}}{3}\).

b) \(5x(x + 6) - 2x - 12 = 0\)

\(5x(x + 6) - 2(x + 6) = 0\)

\((x + 6)(5x - 2) = 0\)

\(x + 6 = 0\) hoặc \(5x - 2 = 0\)

\(x =  - 6\) hoặc \(x = \frac{2}{5}\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 6\) và \(x = \frac{2}{5}\).

c) \({x^2} - x - (5x - 5) = 0\)

\(x(x - 1) - 5(x - 1) = 0\)

\((x - 1)(x - 5) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 5 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 5\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\) và \(x = 5\).

d) \({(3x - 2)^2} - {(x + 6)^2} = 0\)

\(9{x^2} - 12x + 4 - {x^2} - 12x - 36 = 0\)

\(8{x^2} - 24x - 32 = 0\)

\(8({x^2} - 3x - 4) = 0\)

\({x^2} - 4x + x - 4 = 0\)

\(x(x - 4) + (x - 4) = 0\)

\((x + 1)(x - 4) = 0\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(x - 4 = 0\)

\(x =  - 1\) hoặc \(x = 4\).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x =  - 1\) và \(x = 4\).

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + 2 = \frac{2}{{x - 3}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + 2 = \frac{2}{{x - 3}}\\\frac{{x + 5}}{{x - 3}} + \frac{{2(x - 3)}}{{x - 3}} = \frac{2}{{x - 3}}\\x + 5 + 2x - 6 = 2\\3x = 3\\x = 1\end{array}\)

Ta thấy \(x = 1\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).

b) \(\frac{{3x + 5}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = 3\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 1\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{3x + 5}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = 3\\\frac{{(3x + 5)x}}{{(x + 1)x}} + \frac{{2(x + 1)}}{{(x + 1)x}} = \frac{{3x(x + 1)}}{{(x + 1)x}}\\3{x^2} + 5x + 2x + 2 = 3{x^2} + 3x\\4x =  - 2\\x = \frac{{ - 1}}{2}\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{ - 1}}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 1}}{2}\).

c) \(\frac{{x + 3}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2\)

Điều kiện xác định: \(x \ne 2\) và \(x \ne 3\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 3}}{{x - 2}} + \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 2\\\frac{{(x + 3)(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}} + \frac{{(x + 2)(x - 2)}}{{(x - 2)(x - 3)}} = \frac{{2(x - 2)(x - 3)}}{{(x - 2)(x - 3)}}\\{x^2} - 9 + {x^2} - 4 = 2{x^2} - 10x + 12\\10x = 25\\x = \frac{5}{2}\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{5}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{5}{2}\).

d) \(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}\)

\(\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{(x - 2)(x + 2)}}\)

Điều kiện xác định: \(x \ne  \pm 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{{x^2} - 4}}\\\frac{{x + 2}}{{x - 2}} - \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{16}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\\frac{{{{(x + 2)}^2}}}{{(x - 2)(x + 2)}} - \frac{{{{(x - 2)}^2}}}{{(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{16}}{{(x - 2)(x + 2)}}\\(x + 2 - x + 2)(x + 2 + x - 2) = 16\\4.2x = 16\\x = 2\end{array}\)

Ta thấy \(x = 2\) không thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình vô nghiệm.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi tốc độ của xe đạp là \(x\) (km/h), \(x > 0\).

Thời gian xe đạp đi quãng đường từ A đến B là \(\frac{{60}}{x}\) (giờ).

Tốc độ của xe máy là \(3x\) (km/h).

Thời gian xe máy đi quãng đường từ A đến B là \(\frac{{60}}{{3x}} = \frac{{20}}{x}\) (giờ).

Đổi 1 giờ 40 phút = \(\frac{5}{3}\) giờ.

Vì xe máy xuất phát sau xe đáp 1 giờ 40 phút và đến sớm hơn xe đạp 1 giờ nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{60}}{x} - \frac{{20}}{x} = \frac{5}{3} + 1\\\frac{{40}}{x} = \frac{8}{3}\\\frac{{40.3}}{{3x}} = \frac{{8x}}{{3x}}\\120 = 8x\\x = 15\end{array}\)

Ta thấy \(x = 15\) thỏa mãn điều kiện \(x > 0\).

Vậy tốc độ của xe đạp là 15km/h; tốc độ của xe máy là 45km/h.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Gọi số công nhân dự định tham gia lúc đầu là \(x\) (người), \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

Số tiền thưởng dự định mỗi công nhân nhận được là \(\frac{{12\,600\,000}}{x}\) (đồng).

Số công nhận thực tế tham gia là \(80\% x = 0,8x\) (người).

Số tiền thưởng thực tế mỗi công nhân nhận được là \(\frac{{12\,600\,000}}{{0,8x}} = \frac{{15\,750\,000}}{x}\) (đồng).

Vì thực tế mỗi người tham gia hội thảo được nhận thêm 105 000 đồng nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{15\,750\,000}}{x} - \frac{{12\,600\,000}}{x} = 105\,000\\\frac{{3\,150\,000}}{x} = \frac{{105\,000x}}{x}\\3150000 = 105000x\\x = 30\end{array}\)

Ta thấy \(x = 30\) thỏa mãn điều kiện \(x \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy số công nhân dự định tham gia lúc đầu là 30 người.

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)