Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}\)
Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}\)
Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích các vectơ \(\overrightarrow{AB,}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AK};\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BM}\) ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Gọi G là giao điểm của AK, BM thì G là trọng tâm của tam giác.
Ta có
=
=>
=
![]()
= -
= -
![]()
= -
Theo quy tắc 3 điểm đối với tổng vec tơ:
=
+
=>
=
-
=
(
-
).
AK là trung tuyến thuộc cạnh BC nên
+
= 2
=>
-
+
= 2
Từ đây ta có
=
+
=>
= -
-
.
BM là trung tuyến thuộc đỉnh B nên
+
= 2
=> -
+
= 2
=>
(Trả lời bởi Kẹo dẻo)=
+
![]()
.
Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho \(\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}\) ?
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảiTa có: \(\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{MB}=3\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow-\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{BC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\). Mà \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\) nên \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
Theo quy tắc 3 điểm, ta có
\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\) hay \(\overrightarrow{AM}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{u}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{v}\)
(Trả lời bởi Truy kích)
Gọi \(AM\) là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn AM. Chứng minh rằng :
a) \(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
b) \(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}\) , với O là điểm tùy ý
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Gọi M là trung điểm của BC nên:
Ta có:
vì
Mặt khác, do D là trung điểm của đoạn AM nên
Khi đó:
b) Ta có:
luôn đúng theo câu a
Vậy:
(Trả lời bởi Kẹo dẻo), với O là điểm tùy ý
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng :
\(2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
N là trung điểm của CD:
2
=
+
(1)
Theo quy tắc 3 điểm, ta có:
=
+
(2)
=
+
(3)
Từ (1), (2), (3) ta có: 2
=
+
+
+
vì M là trung điểm của Ab nên:
+
=
Suy ra : 2
=
+
Chứng minh tương tự, ta có 2
=
+
Chú ý: Sau khi chứng minh 2 C =
+
ta chỉ cần chứng minh thêm
+
=
+
cũng được
Ta có:
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
Vì
=
nên ta có:
+
=
+
và 2
=
+
=
+
(Trả lời bởi Kẹo dẻo)
Cho hai điểm phân biệt A và B. Tìm điểm K sao cho :
\(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiTa có: 3
+ 2
=
=> 3
= -2
=>
= -
Đẳng thức này chứng tỏ hi vec tơ
,
là hai vec tơ ngược hướng, do đó K thuộc đoạn AB
Ta lại có:
= -
=> KA =
KB
Vậy K là điểm chia trong đoạn thẳng AB theo tỉ số
(Trả lời bởi Kẹo dẻo)
Cho tam giác ABC. Tìm điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\) ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiGọi D là trung điểm của cạnh AB, ta có:
+
= 2
Đẳng thức đã cho trở thành:
2
+ 2
=
=>
+
=
Đẳng thức này chứng tỏ M là trung điểm của CD
(Trả lời bởi Kẹo dẻo)
Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FE. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm ?
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Ta có :
=
![]()
=
![]()
=
=>
+
+
=
(
+
+
) =
![]()
=
=>
+
+
=
(1)
Gọi G là trong tâm của tam giác MPR, ta có:
+
+
=
(2)
Mặt khác :
=
+
=
+
=
+
=>
+
+
=(
+
+
)+
+
+
(3)
Từ (1),(2), (3) suy ra:
+
+
=
Vậy G là trọng tâm của tam giác NQS
(Trả lời bởi Kẹo dẻo)
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đền BC, AC, AB. Chứng minh rằng :
\(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC.
Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD
B1C2 nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B1C2 của tam giác MB1C2
Ta có 2
=
+
Tương tự: 2
=
+
2
=
+
=> 2(
+
+
) = (
+
) + (
+
) + (
+
)
Tứ giác là hình bình hành nên
+
=
Tương tự:
+
=
+
=
=> 2(
+
+
) =
+
+
vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên
+
+
= 3
.
Cuối cùng ta có:
2(
+
+
) = 3
;
=>
+
+
=
(Trả lời bởi Kẹo dẻo)
Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\) trong các trường hợp sau :
a) \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\)
b) \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\)
c) \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) cùng hướng và \(\left|\overrightarrow{a}\right|=20;\left|\overrightarrow{b}\right|=5\)
d) \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) ngược hướng và \(\left|\overrightarrow{a}\right|=5;\left|\overrightarrow{b}\right|=15\)
e) \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\)
g) \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)
h) \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)
Thảo luận (2)Hướng dẫn giảia) Theo giả thiết \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\) nên giả sử \(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\) suy ra:
(Trả lời bởi Bùi Thị Vân)
\(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{a}\Leftrightarrow\left(1-m\right)\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\).
\(\Leftrightarrow1-m=0\) (vì \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\) ).
\(\Leftrightarrow m=1\).
b) Nếu \(\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{b};\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\).
Giả sử \(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{a}=-m\overrightarrow{a}\)\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\left(1+m\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow1+m=0\)\(\Leftrightarrow m=-1\).
c) Do \(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) cùng hướng nên: \(m>0\).
Mặt khác: \(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|m\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|\)
\(\Leftrightarrow20=5.\left|m\right|\)\(\Leftrightarrow\left|m\right|=4\)
\(\Leftrightarrow m=\pm4\).
Do m > 0 nên m = 4.