§3. Tích của vectơ với một số

Cho tam giác ABC và D, E là trung điểm của các cạnh AB và AC.

Đẳng thức vectơ nào sau đây là đúng?

1. \(\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DE}\).
2. \(\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{DE}\).
3. \(\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DE}\).
4. \(\overrightarrow{BC}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DE}\).

Cho G là trọng tâm tam giác ABC. AM là trung tuyến. Đẳng thức vectơ nào sau đây là đúng?

1. \(\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}\).
2. \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AG}\).
3. \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AG}\).
4. \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}\).

Cho hai điểm phân biệt A và B. Vị trí điểm K sao cho \(3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}\) là

1. K là trung điểm của AB.
2. K nằm trên đoạn AB và \(\dfrac{KA}{KB}=\dfrac{2}{3}\).
3. K nằm trên đoạn AB và \(\dfrac{KA}{KB}=\dfrac{3}{2}\).
4. K trùng với A hoặc B.

Cho tam giác đều ABC có G là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống  BC, AC, AB. Hãy tính tổng  \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\) theo \(\overrightarrow{MG}\).

1. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MG}\).
2. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MG}\).
3. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=3\overrightarrow{MG}\).
4. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MG}\).

Gọi M và N là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD. Biết rằng \(MN=4cm\).

   .

 Tính độ dài vecto\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\)

1. 1cm.
2. 5cm.
3. 12cm.
4. 16cm.

Cho tam giác ABC. Xác định vị trí của điểm M sao cho \(\overrightarrow{MA}+2.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\).

1. M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC.
2. M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ đỉnh A.
3. M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ đỉnh B.
4. M là trung điểm của cạnh AB.

Cho tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BC}\) , \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}\) . Trong các cặp vectơ sau đây, cặp vecto nào sau cùng phương?

1. \((2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) và \((\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\).
2. \(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\) và \((2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\).
3. \((5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) và \((-10\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})\).
4. \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) và \((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\).

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AC}\).
2. \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\).
3. \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{IK}\).
4. \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}\).

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy tính giá trị biểu thức \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\) theo \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{CA}\) và \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{CB}\) .

1. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\).
2. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\).
3. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).
4. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\).

Cho tam giác ABC. Gọi I và J là hai điểm thoả mãn \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB};3\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\).

Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{IJ}\) theo các vecto \(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB},\) \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}\).

1. \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).
2. \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}\).
3. \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}\).
4. \(\overrightarrow{IJ}=\dfrac{5}{2}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm thoả mãn \(\overrightarrow{BI}=k\overrightarrow{BC}\left(k\ne1\right)\). Biểu diễn \(\overrightarrow{AI}\)  qua hai vectơ \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\).

1. \(\overrightarrow{AI}=\left(k-1\right)\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AC}\).
2. \(\overrightarrow{AI}=\left(1-k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\).
3. \(\overrightarrow{AI}=\left(1+k\right)\overrightarrow{AB}-k\overrightarrow{AC}\).
4. \(\overrightarrow{AI}=\left(1+k\right)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}\).

Cho tam giác ABC. Biết AB = 8; AC = 9; BC = 11. M là trung điểm của BC, N là điểm trên đoạn AC sao cho \(AN=x\left(0< x< 9\right)\). Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) qua \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}\).

1. \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{9}\right)\overrightarrow{c}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\).
2. \(\overrightarrow{MN}=\left(-\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{x}{9}+\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\).
4. \(\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{x}{9}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}\).

Cho tam giác ABC, N là điểm thoả mãn \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}\), G là trọng tâm của tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

1. \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).
2. \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AG}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).
3. \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AG}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).
4. \(\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AG}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AN}\).

Cho tam giác đều ABC tâm O. Kí hiệu M là một điểm bất kì trong tam giác. Hình chiếu vuông góc của M xuống 3 cạnh của tam giác là D, E, F. Tính tổng \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}\)  theo \(\overrightarrow{MO}\) .

1. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MO}\).
2. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MO}\).
3. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{MO}\).
4. \(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{MO}\).

Cho tam giác ABC. Xác định vị trí điểm I thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).

1. Trung điểm AB.
2. Trọng tâm của tam giác ABC.
3. Đỉnh I của hình bình hành ACBI.
4. Đỉnh I của hình bình hành ABCI.

Cho tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác, H là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MH}\)  qua hai vectơ \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\).

1. \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{2}\).
2. \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{4}\).
3. \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{6}\).
4. \(\overrightarrow{MH}=\dfrac{\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{a}}{8}\).

Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh  AB sao cho \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}\) và N là điểm trên cạnh CB sao cho \(\overrightarrow{CN}=\dfrac{3}{5}\overrightarrow{CB}\) . Hãy biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{MN}\) qua hai vectơ \(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{a}\).

1. \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{3\overrightarrow{b}-11\overrightarrow{a}}{20}\).
2. \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{5\overrightarrow{b}-13\overrightarrow{a}}{20}\).
3. \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{7\overrightarrow{b}-15\overrightarrow{a}}{20}\).
4. \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{9\overrightarrow{b}-17\overrightarrow{a}}{20}\).

Cho tam giác ABC. M là một điểm trên cạnh BC sao cho \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?

1. \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).
2. \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}\).
3. \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}\).
4. \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

Cho tam giác ABC; M là một điểm tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

1. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{BC}\).
2. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\).
3. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\).
4. \(2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\).

Cho ba điểm phân biệt A,B,C. Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là

1. \(\forall M\in R:\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\).
2. \(\forall M:\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\).
3. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\).
4. \(\exists k\in R:\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\).