Question

Xét tính tăng giảm của dãy số sau: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=2\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+1}{4}\end{matrix}\right.\), n\(\ge\)1

Answer 1

Ta sẽ chứng minh \(\left(u_n\right)\) giảm, tức \(u_{n+1}< u_n\) (*) bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1: \(u_2-u_1=\dfrac{u_1^2+1}{4}-u_1=\dfrac{2^2+1}{4}-2=\dfrac{-3}{4}< 0\)

Giả sử (*) đúng với n = k (\(k\in N;k>1\)), tức \(u_{k+1}< u_k\)

Ta sẽ chứng minh (*) đúng với n = k + 1, tức \(u_{k+2}< u_{k+1}\)

\(u_{k+2}=\dfrac{\left(u_{k+1}\right)^2+1}{4}< \dfrac{u_k^2+1}{4}=u_{k+1}\)

Theo nguyên lí quy nạp, ta được đpcm.

Vậy \(\left(u_n\right)\) giảm.