Question

Xác định m để phương trình \(6cos^2x+\left(9m-7\right).cosx-6m+2=0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt \(x\in\left(0;\dfrac{3\pi}{2}\right)\)

Answer 1

Đặt \(cosx=t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow6t^2+\left(9m-7\right)t-6m+2=0\)

\(\Leftrightarrow6t^2-7t+2+9mt-6m=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2t-1\right)\left(3t-2\right)+3m\left(3t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3t-2\right)\left(2t+3m-1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=\dfrac{2}{3}\\cosx=\dfrac{-3m+1}{2}\end{matrix}\right.\) 

(Chà tới đây mới thấy ko cần đặt ẩn phụ, nhìn con số 9m và 6m to 1 cách vô lý đã nghi nghi có gì đó bất thường trong nghiệm :D)

Pt \(cosx=\dfrac{2}{3}\) cho 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

Để pt có 3 nghiệm pb thì \(cosx=\dfrac{-3m+1}{2}\) cho 2 nghiệm pb thuộc khoảng đã cho

Từ đường tròn lượng giác ta dễ dàng suy ra: \(-1< \dfrac{-2m+1}{2}< 0\)