Question

Với \(x;y;z\) thực thỏa mãn\(x+y+z=1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P=4xy+2yz+zx\)

Answer 1

Cân bằng hệ số:

\(25x^2+36y^2\ge60xy\Rightarrow5x^2+\dfrac{36}{5}y^2\ge12xy\)

\(4x^2+9z^2\ge-12zx\Rightarrow3x^2+\dfrac{27}{4}z^2\ge-9zx\)

\(16y^2+25z^2\ge-40yz\Rightarrow\dfrac{4}{5}y^2+\dfrac{5}{4}z^2\ge-2yz\)

Cộng vế với vế:

\(8x^2+8y^2+8z^2\ge12xy-9zx-2yz\)

\(\Leftrightarrow8x^2+8y^2+8z^2+16xy+16yz+16zx\ge28xy+14yz+7zx\)

\(\Leftrightarrow8\left(x+y+z\right)^2\ge7\left(4xy+2yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow4xy+2yz+zx\le\dfrac{8}{7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{6}{7};\dfrac{5}{7};-\dfrac{4}{7}\right)\)