Question

với n lẻ thì

a) \(n^2+4n+3⋮8\)

b)(\(n^3+3n^2-n-3\))\(⋮\)48

Answer 1

Lời giải:

a) Ta có:

\(n^2+4n+3=n^2+n+3(n+1)=n(n+1)+3(n+1)=(n+1)(n+3)\)

Vì $n$ lẻ nên đặt \(n=2k+1(k\in\mathbb{N})\)

Khi đó \(n^2+4n+3=(n+1)(n+3)=(2k+1+1)(2k+1+3)=4(k+1)(k+2)\)

Vì $k+1,k+2$ là hai số tự nhiên liên tiếp nên \((k+1)(k+2)\vdots 2\)

\(\Rightarrow 4(k+1)(k+2)\vdots 8\Leftrightarrow n^2+4n+3\vdots 8\) (đpcm)

b)

Phân tích \(n^3+3n^2-n-3=n^2(n+3)-(n+3)=(n^2-1)(n+3)\)

Đặt \(n=2k+1\Rightarrow (n^2-1)(n+3)=(n-1)(n+1)(n+3)=2k(2k+2)(2k+4)\)

\(=8k(k+1)(k+2)\)

Vì \(k,k+1,k+2\) là ba số tự nhiên liên tiếp nên \(k(k+1)(k+2)\) chia hết cho $2$ và $3$

\(\Rightarrow k(k+1)(k+2)\vdots 6\)

\(\Rightarrow 8k(k+1)(k+2)\vdots 48\)

hay \(n^3+3n^2-n-3\vdots 48\) (đpcm)