Question

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đg thẳng (d) : \(y=2mx-m^2+1\) và parabol (P): \(y=x^2\)

a) CM ( d) luôn cắt P tại hai điểm phân biệt

b) tìm tất cả giá trị m để d cắt P tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁,x₂ thỏa mãn \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-2}{x_1x_2}+1\)

Answer 1

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-2mx+m^2-1=0\)

\(\Delta'=m^2-\left(m^2-1\right)=1>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb hay d luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

Để pt có 2 nghiệm khác 0 \(\Rightarrow x_1x_2\ne0\Rightarrow m\ne\pm1\)

Khi đó: \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-2}{x_1x_2}+1\Leftrightarrow\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{x_1x_2-2}{x_1x_2}\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=x_1x_2-2\Leftrightarrow2m=m^2-3\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(l\right)\\m=3\end{matrix}\right.\)