Lời giải
Gọi tọa độ điểm $A$ là $(a,b)$
Vì $AB=3; AC=4$ nên:
\(\left\{\begin{matrix} (a-1)^2+(b+3)^2=3^2=9\\ (a-1)^2+(b-2)^2=4^2=16\end{matrix}\right.(*)\)
\(\Rightarrow (b+3)^2-(b-2)^2=-7\)
\(\Rightarrow b=\frac{-6}{5}\). Thay vào một trong 2 PT của $(*)$ suy ra \((a-1)^2=\frac{144}{25}\Rightarrow a=\frac{-7}{5}\) hoặc \(a=\frac{17}{5}\)
Vậy \(A(\frac{-7}{5}; \frac{-6}{5})\) hoặc \(A(\frac{17}{5}; \frac{-6}{5})\). Vì hai điểm này mang tính đối xứng qua $BC$ nên có cùng chân đường cao $H$ hạ xuống $BC$
Vậy, giả sử $A(\frac{-7}{5}; \frac{-6}{5}$. Gọi tọa độ điểm $H(m,n)$.
Vì \(\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow {BC}\Rightarrow \overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0\)
\(\Leftrightarrow (m+\frac{7}{5}; n+\frac{6}{5})(0;5)=0\)
\(\Leftrightarrow (m+\frac{7}{5}).0+(n-\frac{6}{5}).5=0\Rightarrow n=\frac{-6}{5}\)
Mặt khác $H\in BC$ nên \(\overrightarrow {BH}=k\overrightarrow{BC}\)
\(\Leftrightarrow (m-1; n+3)=k(0;5)=(0;5k)\)
\(\Rightarrow m-1=0\Rightarrow m=1\)
Vậy $H(1;\frac{-6}{5})$
