xét hoành độ giao điểm của (d) và (p) ta có :
\(-x^2=mx+m-2\) \(\Leftrightarrow\) \(x^2+mx+m-2=0\)
\(\Delta\) = \(m^2-4\left(m-2\right)\) = \(m^2-4m+8\) = \(\left(m-2\right)^2+4\) \(\ge4>0\forall m\)
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiêm phân biệt
vậy (d) luôn cắt (p) tại 2 điểm phân biệt
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
đặc : \(\left(-x_1^2và-x_2^2\right)\) là hoành độ tương ứng \(\left(y_1vày_2\right)\)
ta có : \(\left(y_1+2\right)\left(y_2+2\right)=4\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(-x_1^2+2\right)\left(-x_2^2+2\right)=4\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x_1x_2\right)^2-2x_1^2-2x_2^2+4=4\left(x_1x_2+x_1+x_2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4=4\left(x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x_1x_2\right)^2-2\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)+4=4\left(x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(m-2\right)^2-2\left(\left(-m\right)^2-2\left(m-2\right)\right)+4=4\left(m-2-m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(m^2-4m+4-2\left(m^2-2m+4\right)+4=4\left(-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(m^2-4m+4-2m^2+4m-8+4=-4\)
\(\Leftrightarrow\) \(-m^2=-4\) \(\Leftrightarrow\) \(m^2=4\) \(\Leftrightarrow\) \(m=\pm2\)
vậy \(m=\pm2\)
