a: Phương trình hoành độ giao điểm là:
\(x^2=mx-m+1\)
=>\(x^2-mx+m-1=0\) (1)
\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right)\)
\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2>=0\forall m\)
=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm
b: a=1; b=-m; c=m-1
a+b+c=1-m+m-1=0
=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm là:
\(\left[\begin{array}{l}x_1=1\\ x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{array}\right.\)
\(A=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\cdot x_1x_2+2}\)
\(=\frac{2\cdot1\left(m-1\right)+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{2m-2+3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)
=>\(A\left(m^2+2\right)=2m+1\)
=>\(m^2\cdot A+2A-2m-1=0\)
=>\(A\cdot m^2-2\cdot m+2A-1=0\) (2)
\(\Delta=\left(-2\right)^2-4A\left(2A-1\right)=4-8A^2+4A=-8A^2+4A+4\)
\(=-4\left(2A^2-A-1\right)=-4\left(2A^2-2A+A-1\right)=-4\left(A-1\right)\left(2A+1\right)\)
Để phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt thì Δ>=0
=>-4(A-1)(2A+1)>=0
=>(A-1)(2A+1)<=0
=>\(-\frac12\le A\le1\)
=>GTLN của A là A=1 khi \(\frac{2m+1}{m^2+2}=1\)
=>\(m^2+2=2m+1\)
=>\(m^2-2m+1=0\)
=>\(\left(m-1\right)^2=0\)
=>m-1=0
=>m=1
