Question

Tồn tại hay không số nguyên n để (2n + 2021) và (3n+2020) đều là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Giả sử tồn tại số nguyên $n$ để $2n+2021, 3n+2020$ là số chính phương.

Khi đó, đặt $2n+2021=a^2; 3n+2020=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

$\Rightarrow 3a^2-2b^2=2023$

$\Rightarrow 3a^2=2b^2+2023$ lẻ

$\Rightarrow a$ lẻ

$\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 8$

$\Rightarrow 2b^2=3a^2-2023\equiv 3.1-2023\equiv 4\pmod 8$

$\Rightarrow b^2\equiv 2\pmod 8$

Vô lý vì số chính phương khi chia cho $8$ chỉ có dư là $0,1,4,8$

Do đó điều giả sử là sai. Tức là không tồn tại số nguyên $n$ thỏa yêu cầu đề bài.