*Xét \(n=11k\left(k\in N\right)\):
\(A=n^2+9n-2=121k^2+99k-2⋮̸11\)(loại).
*Xét \(n=11k+1\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+22k+1+99k+9-2=121k^2+22k+99k+8⋮̸11\)(loại)
*Xét \(n=11k+2\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+44k+4+99k+18-2=121k^2+44k+99k+20⋮̸11\)(loại)
*Xét \(n=11k+3\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+66k+9+99k+27-2=121k^2+66k+99k+34⋮̸11\)
(loại)
*Xét \(n=11k+4\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+88k+16+99k+36-2=121k^2+88k+99k+50⋮̸11\)
(loại)
*Xét \(n=11k+5\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+110k+25+99k+45-2=121k^2+110k+99k+68⋮̸11\)(loại)
*Xét \(n=11k+6\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+132k+36+99k+54-2=121k^2+132k+99k+88⋮11\)
(nhận)
*Xét \(n=11k+7\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+154k+49+99k+63-2=121k^2+154k+99k+110⋮11\)
(nhận)
*Xét \(n=11k+8\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+176k+64+99k+72-2=121k^2+176k+99k+134⋮̸11\)
(loại)
*Xét \(n=11k+9\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+198k+81+99k+81-2=121k^2+198k+99k+160⋮̸11\)
(loại)
*Xét \(n=11k+10\left(k\in N\right)\)
\(A=n^2+9n-2=121k^2+220k+100+99k+90-2=121k^2+220k+99k+188⋮̸11\)
(loại)
Tổng kết lại, vậy với mọi n nguyên dương chia 11 dư 6 hoặc 7 thì biểu thức A chia hết cho 11.
