Question

Tìm tất cả các nguyên tố P và Q thõa mãn

\(\dfrac{46}{P}\) + \(\dfrac{46}{Q}\) = \(\dfrac{46}{P}\) . \(\dfrac{46}{Q}\)

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(\frac{46}{P}+\frac{46}{Q}=\frac{46}{P}.\frac{46}{Q}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{P}+\frac{1}{Q}=\frac{46}{P.Q}\)

\(\Leftrightarrow \frac{P+Q}{P.Q}=\frac{46}{P.Q}\Leftrightarrow P+Q=46\)

Không mất tổng quát giả sử \(P\geq Q\Rightarrow 46=P+Q\geq 2Q\)

\(\Leftrightarrow Q\leq 23\).

Vì \(Q\in\mathbb{P}\Rightarrow Q\in\left\{2;3;5;7;11;13;17;19;23\right\}\)

\(\Rightarrow P\in\left\{44;43;41;39;35;33;29;27;23\right\}\) (theo thứ tự)

Mà \(P\in\mathbb{P}\Rightarrow P\in\left\{43;41;29;23\right\}\)

Vậy các bộ số (P,Q) thỏa mãn là:

\(\left\{(3;43);(5;41);(17;29);(23,23)\right\}\) và hoán vị từng bộ.