Question

tìm tất cả các giá trị k để bpt: \(|x^2-x|\le x+k\) có 2011 nghiệm nguyên

Answer 1

\(!x^2-x!\le x+k\) có 2011 nghiệm nguyên (*)

Hiển nhiên với 0<x<1 loại do x không nguyên

Vậy : \(\left[\begin{matrix}x\le0\\x\ge1\end{matrix}\right.\) =>!x^2-x!=x^2-x

\(\Leftrightarrow x^2-x\le x+k\Leftrightarrow x^2-2x+1\le\left(k-1\right)\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\le k-1\)

Nếu k<1 vô nghiệm=> k>=1

\(1-\sqrt{k-1}\le x\le1+\sqrt{k-1}\)

Từ -1004 đến 1006 có 2011 số nguyên

Theo điều kiên (**)=> \(\sqrt{k-1}=\frac{2011-1}{2}=1005\)

có 2011 nghiệm nguyên x

\(1005\le\sqrt{k-1}< 1006\Rightarrow1005^2+1\le k< 1006^2+1\)