Ta có:
\(3a+5b=8c\)
\(\Leftrightarrow3a-3c=5c-5b\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-c\right)=5\left(c-b\right)\)
Vì \(\left(3;5\right)=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-c⋮5\\c-b⋮3\end{matrix}\right.\)
Nếu \(a>c\Rightarrow c>b\) và \(a-c\in B\left(5\right)\) nên \(a-c=5\) (không thể bằng \(0\) vì \(a\ne c\)). \(c>b\Rightarrow c\ne0\)
\(*)\) \(a=6,c=1\)\(\Rightarrow b=-2\) (loại)
\(*)\) \(a=7,c=2\)\(\Rightarrow b=-1\) (loại)
\(*)\) \(a=8,c=3\)\(\Rightarrow b=0\) (thỏa mãn)
\(*)\) \(a=9,c=4\)\(\Rightarrow b=1\) (thỏa mãn)
Nếu \(a< c\Rightarrow c< b\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(c-a\right)=5\left(b-c\right)\\c-a\in B\left(5\right)\Rightarrow c-a=5\end{matrix}\right.\) (không thể bằng \(0\) vì \(a\ne c\)). \(b>c\Rightarrow b\ne0\)
\(*)\) \(c=6,a=1\Rightarrow b=9\) (thỏa mãn)
\(*)\) \(c=7,a=2\Rightarrow b=10\) (loại)
\(*)\) \(c=8,a=3\Rightarrow b=11\) (loại)
\(*)\) \(c=9,a=4\Rightarrow b=12\) (loại)
Vậy \(\overline{abc}=803;914;196\)
