Question

Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số sao cho 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương

Answer 1

Do $2n+1$ là số chính phương lẻ nên $2n+1$ chia $8$ dư $1$,vậy $n$ là số chẵn.
Vì $3n+1$ là số chính phương lẻ nên $3n+1$ chia $8$ dư $1$
$\Longrightarrow 3n \vdots 8$
$\Longleftrightarrow n \vdots 8(1)$
Do $2n+1$ và $3n+1$ đều là số chính phương lẻ có tận cùng là $1;5;9$.do đó khi chia cho $5$ thì có số dư là $1;0;4$
Mà $(2n+1)+(3n+1)=5n+2$ ,do đo $2n+1$ và $3n+1$ khi cho cho $5$ đều dư $1$
$\Longrightarrow n \vdots 5 (2)$
Từ (1) và (2)$\Longrightarrow n \vdots 40$
Vậy $n=40k$ thì ...

Answer 2

Đặt 2n + 1 = k², 3n + 1 = h² với k, h \(\in\) N

Vì 10 \(\le\) n \(\le\) 99 nên 20 \(\le\) 2n + 1 \(\le\) 198 \(\Rightarrow\) 5 \(\le\) k \(\le\) 14

Mà k lẻ (Do 2n + 1 lẻ) nên k \(\in\) {5; 7; 9; 11; 13}

\(\Rightarrow\) 2n + 1 \(\in\) {25; 49; 81; 121; 169}

\(\Rightarrow\) n \(\in\) {12; 24; 40; 60; 84}

Thay n vào 3n + 1 ta được n = 40 để 3n + 1 là số chính phương.

Vậy n = 40.

P/s: Có thể có cách khác nx, nhưng đối vs bài này thì cách này có lẽ là dể hiểu nhất. Có thể xét các giá trị của h thay vì k cx dc.