Vì S(n) + n = 2016
\(\Rightarrow\) n < 2016
\(\Rightarrow\) n lớn nhất chỉ có thể có 4 chữ số
\(\Rightarrow\) S(n) \(\le\) 4.9
\(\Rightarrow\) S(n) \(\le\) 36
\(\Rightarrow\) n \(\ge\) 2016 - 36
\(\Rightarrow\) n \(\ge\) 1980
Mà n < 2016
\(\Rightarrow\) 1980 \(\le\) n < 2016
Vì n có 4 chữ số
\(\Rightarrow\) n có 1 trong hai dạng sau:
19ab hoặc 20cd (a,b,c,d \(\in\) N ; a,b,c,d < 10)
* Nếu n có dạng 19ab \(\Rightarrow\) a\(\ge\) 8
Theo bài ra , ta có:
19ab + (1 + 9 + a + b) = 2016
1900 + a.10 + b + 10 + a + b = 2016
a.11 + 2.b = 2016 - 1900 - 10
a.11 + 2.b = 106 (1)
Vì 2.b \(⋮\) 2 ; 106 \(⋮\) 2
\(\Rightarrow\) a.11 \(⋮\) 2
Mà (11,2) = 1
\(\Rightarrow\) a \(⋮\) 2
Vì a < 10 ; a\(\ge\) 8 ; a \(⋮\) 2
\(\Rightarrow\) a = 8
Thay a = 8 vào (1) , ta có:
8.11 + 2.b = 106
88 + 2.b = 106
2.b = 106 - 88
2.b = 18
b = 18 : 2
b = 9
Thử lại : 1989 + (1 + 9 + 8 + 9) = 2016 (đúng)
*Nếu n có dạng 20ab \(\Rightarrow\) a \(\le\) 1
Theo bài ra , ta có:
20ab + (2 + 0 + a + b) = 2016
2000 + a.10 + b + 2 + a + b = 2016
a.11 + 2.b = 2016 - 2000 - 2
a.11 + 2.b = 14 (2)
Vì 14 \(⋮\) 2 ; 2.b \(⋮\) 2
\(\Rightarrow\) a.11 \(⋮\)2
Mà (11,2) = 1
\(\Rightarrow\) a \(⋮\)2
Vì a < 10 ; a \(\le\) 1 ; a \(⋮\)2
\(\Rightarrow\) a = 0
Thay a = 0 vào (2) , ta có:
0.11 + 2.b = 14
0 + 2.b = 14
2.b = 14 - 0
2.b = 14
b = 14:2
b = 7
Thử lại: 2007 + (2 + 0 + 0 + 7) = 2016 (đúng)
Vậy các số tự nhiên n thỏa mãn bài ra là các số : 1989 và 2007.
