Question

Tím số nguyên y để biểu thức 2y²+5 là số chính phương

Answer 1

Lời giải:

Đặt $2y^2+5=a^2$ với $a\in\mathbb{N}$

Ta sử dụng tính chất sau đây (*): Một số chính phương $x^2$ khi chia cho $8$ thì có thể có dư là $0,1,4,8$.

Để chứng minh tính chất trên, bạn có thể đặt $x=4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3$

--------------------------

Áp dụng tính chất $(*)$ vào bài toán.

Dễ thấy $a^2=2y^2+5$ lẻ nên $a$ lẻ.

$\Rightarrow a^2$ là số chính phương lẻ

$\Rightarrow a^2\equiv 1\pmod 8$

$\Leftrightarrow 2y^2+5\equiv 1\pmod 8$

$\Leftrightarrow 2y^2\equiv -4\equiv 4\pmod 8$

$\Rightarrow y^2\equiv 2\pmod 8$ (vô lý theo tính chất $(*)$)

Vậy không tồn tại số nguyên $y$ để $2y^2+5$ là scp.