Câu hỏi của Khanh Hoa

Question

Tìm số nguyên x,y. Biết:

a) $1+x+x^2+x^3=y^3$

b) $x\left(x+1\right)\left(x+7\right)\left(x+8\right)=y^2$

Akai Haruma · Accepted Answer

Phần a) Dùng phương pháp kẹp Xét: $y^3-x^3=(1+x+x^2+x^3)-x^3=1+x+x^2=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ $\Rightarrow y^3>x^3(1)$ Xét: $y^3-(x+2)^3=(1+x+x^2+x^3)-(x+2)^3$ $=-5x^2-11x-7=\frac{-19}{20}-5(x+\frac{11}{10})^2<0$ Do đó: $y^3< (x+2)^3(2)$ Từ $(1);(2)\Rightarrow x^3< y^3< (x+2)^3$ $\Rightarrow y^3=(x+1)^3$ $\Leftrightarrow 1+x+x^2+x^3=x^3+3x^2+3x+1$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Rightarrow x=0; x=-1$ Tương ứng, ta thu được $y=1; y=0$ Vậy $(x,y)=(0;1); (-1;0)$Câu trả lời: Phần a) Dùng phương pháp kẹp Xét: $y^3-x^3=(1+x+x^2+x^3)-x^3=1+x+x^2=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ $\Rightarrow y^3>x^3(1)$ Xét: $y^3-(x+2)^3=(1+x+x^2+x^3)-(x+2)^3$ $=-5x^2-11x-7=\frac{-19}{20}-5(x+\frac{11}{10})^2<0$ Do đó: $y^3< (x+2)^3(2)$ Từ $(1);(2)\Rightarrow x^3< y^3< (x+2)^3$ $\Rightarrow y^3=(x+1)^3$ $\Leftrightarrow 1+x+x^2+x^3=x^3+3x^2+3x+1$ $\Leftrightarrow 2x^2+2x=0\Leftrightarrow x(x+1)=0\Rightarrow x=0; x=-1$ Tương ứng, ta thu được $y=1; y=0$ Vậy $(x,y)=(0;1); (-1;0)$

Akai Haruma · Answer

Phần b)

Ta có:

$x(x+1)(x+7)(x+8)=y^2$

$\Leftrightarrow [x(x+8)][(x+1)(x+7)]=y^2$

$\Leftrightarrow (x^2+8x)(x^2+8x+7)=y^2$

Đặt $x^2+8x=a$. Khi đó pt trở thành:

$a(a+7)=y^2$

$\Leftrightarrow a^2+7a=y^2$

$\Leftrightarrow 4a^2+28a=4y^2$

$\Leftrightarrow (2a+7)^2-49=(2y)^2$

$\Leftrightarrow (2a+7-2y)(2a+7+2y)=49$

Đến đây, lập bảng xét giá trị ta thu được:

$(a,y)=(9,12); (9,-12); (0,0);(-16,-12); (-16,12); (-7,0)$

$\Rightarrow (x,y)=(1,12); (-9,12); (1,-12); (-9,-12); (0,0); (-8,0); (-4,-12); (-4,12); (-1,0); (-7,0)$Câu trả lời: Phần b)