Question

Tìm số nguyên x, y thỏa mãn:

\(x^2\)+4x+1 = \(y^4\)

Answer 1

x²+4x+1=y⁴

<=>x²+4x+4=y⁴+3

<=>(x+2)²=y⁴+3

Do x,y nguyên mà (x+2)² là số chính phương

=>y⁴+3 là số chính phương

Đặt y⁴+3=k²(k là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 3)

=>y⁴-k²=-3

<=>(y²-k)(y²+k)=-3.1=-1.3

k là STN =>y²-k<y²+k

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y^2-k=-1\\y^2+k=3\end{matrix}\right.\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}y^2-k=-3\\y^2+k=1\end{matrix}\right.\)

<=>2y²=2 hoặc 2y²=-2(loại)

<=>y²=1

<=>y=1 hoặc y=-1

Khi đó (x+2)²=1⁴+3

<=>(x+2)²=4

<=>x+2=2 hoặc x+2=-2

<=>x=0 hoặc x=-4

Vậy tập ngiệm là:S={(0;1);(0;-1); (-4;1);(-4;-1)}

Answer 2

\(x^2+4x+1=y^4\)

\(\Leftrightarrow y^4-\left(x+2\right)^2=-3\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+x+2\right)\left(y^2-x-2\right)=-3\)

\(\Rightarrow\left(y^2+x+2,y^2-x-2\right)=\left(1,-3;-3,1;-1,3;3,-1\right)\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé.