Question

Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x ( x² + x +1 ) = 4y ( y + 1 )

Answer 1

\(x\left(x^2+x+1\right)=4y\left(y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=4y^2+4y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=\left(2y+1\right)^2\)

Gọi ước chung lớn nhất của \(\left(\left(x^2+1\right);\left(x+1\right)\right)=d\)

\(\Rightarrow\left(\left(x^2+1\right)-\left(x+1\right)\left(x-1\right)\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

Vì VP của phương trình là số lẻ nên \(d=\mp1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+1=a^2\\x+1=b^2\end{matrix}\right.\)

Từ đây dễ dàng thấy được x = 0

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Thử lại ta thấy x,y thỏa mãn.