\(x^2-2y^2=1\left(1\right)\)
VP lẻ => VT phải lẻ 2y^2 là chẵn => x phải lẻ. vậy x=2n+1
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(2n+1\right)^2-2y^2=4n^2+4n+1-2y^2=1\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow4n^2+4n-2y^2=0\Leftrightarrow2n^2+2n-y^2=0\)(2)
Từ (2) hiển nhiên y phải chẵn vậy y=2 (duy nhất) có thể
Với y=2
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2=2.4.+1=9\Rightarrow\left|x\right|=3\)
Vậy mọi số nguyên tố cần tim là (x,y)=(3,2) duy nhất
Giải:
Ta có:
\(x^2-2y^2=1\)
\(\Rightarrow x^2-1=2y^2\) \(\left(1\right)\)
+ Nếu x chia hết cho 3 thì \(x=3\) (vì x là số nguyên tố). Thay vào (1) ta có :
\(3^2-1=2y^2=8\)
\(\Rightarrow y^2=4\)
\(\Rightarrow y=2\)
+ Nếu x không chia hết cho 3 thì x có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\) (\(k ∈ N\))
Với \(x=3k+1\) thì:
\(2y^2=x^2-1\)
\(=\left(x-1\right).\left(x+1\right)\)
\(=\left(3k+1-1\right).\left(3k+1+1\right)\)
\(=3k.\left(3k+2\right):3\)
Với \(x=3k+2\) thì:
\(2y^2=x^2-1\)
\(=\left(x-1\right).\left(x+1\right)\)
\(=\left(3k+2-1\right).\left(3k+2+1\right)\)
\(=\left(3k+1\right).\left(3k+3\right)\)
\(=3.\left(3k+1\right).\left(k+1\right):3\)
Như vậy với mọi x không chia hết cho 3 thì \(x^2-1:3\)
\(\Rightarrow2y^2:3\)
Mà \(\left(2;3\right)=1\)
Nên \(y^2⋮3\). Do 3 là số nguyên tố nên \(y⋮3\) . Mà y là số nguyên tố nên
\(y=3\)
Thay \(y=3\) vào \(\left(1\right)\) ta có:
\(x^2-1=2.3^2=18\)
\(\Rightarrow x^2=19\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{19}\) ( không thỏa mãn )
Vậy chỉ có 1 cặp số \(\left(x;y\right)\) thỏa mãn là \(x=3,y=2\)
Ahihi tớ giải đại thôi, có sai đừng ném đá nha ~~
