Question

tìm m để pt \(\left(\sqrt{5m^2-2m-2}+m-1\right)\left(x+1\right)^3+x^2-x-3=0\) có ít nhất 1ngiệm thuộc (-1;0)

Answer 1

\(\Leftrightarrow\sqrt{5m^2-2m-2}+m-1=\dfrac{-x^2+x+3}{\left(x+1\right)^3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5m^2-2m-2}+m-4=\dfrac{-x^2+x+3}{\left(x+1\right)^3}-3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{5m^2-2m-2}+m-4=\dfrac{-x\left(x+2\right)\left(3x+4\right)}{\left(x+1\right)^3}\ge0\) ; \(\forall x\in\left(-1;0\right)\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt{5m^2-2m-2}\ge4-m\)

- Với \(m\ge4\) BPT luôn đúng

- Với \(m< 4\Leftrightarrow5m^2-2m-2\ge m^2-8m+16\)

\(\Leftrightarrow2m^2+3m-9\ge0\) 

Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\le-3\\m\ge\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)