Question

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m :

a) \(\left|2x-5m\right|=2x-3m\)

b) \(\left|3x+4m\right|=\left|4x-7m\right|\)

c) \(\left(m+1\right)x^2+\left(2m-3\right)x+m+2=0\)

d) \(\dfrac{x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}}{x-3}=2x+m\)

Answer 1

a​) \(\left|2x-5m\right|=2x-3m\)
​Điều kiện có nghiệm của phương trình là: \(2x-3m\ge0\)\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{3m}{2}\). (1)
pt\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-5m=2x-3m\\2x-5m=-\left(2x-3m\right)\end{matrix}\right.\).
Th1. \(2x-5m=2x-3m\Leftrightarrow-5m=-3m\)\(\Leftrightarrow m=0\).
Thay \(m=0\) vào phương trình ta có: \(\left|2x\right|=2x\) (*)
​Dễ thấy (*) có tập nghiệm là: \(\left[0;+\infty\right]\) (Thỏa mãn (1)).
Th2. \(2x-5m=-\left(2x-3m\right)\)\(\Leftrightarrow2x-5m=-2x+3m\)
\(\Leftrightarrow4x=8m\)\(\Leftrightarrow x=2m\).
Để \(x=2m\) là nghiệm của phương trình thì:
\(2m\ge\dfrac{3}{2}m\)\(\Leftrightarrow m\ge0\).
​Biện luận:
​Với m = 0 phương trình có tập nghiệm là: \(\left[0;+\infty\right]\).
​Với \(m>0\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x=2m\).
​Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

Answer 2

b)TXĐ: D = R
\(\left|3x+4m\right|=\left|4x-7m\right|\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x+4m=4x-7m\\3x+4m=-\left(4x-7m\right)\end{matrix}\right.\)
Th1. \(3x+4m=4x-7m\)\(\Leftrightarrow x=11m\)
Th2. \(3x+4m=-4x+7m\) \(\Leftrightarrow7x=3m\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3m}{7}\).
​Biện luận:
​Với mọi giá trị \(m\in R\) phương trình luôn có hai nghiệm:
\(x=11m\) hoặc \(x=\dfrac{3m}{7}\).

Answer 3

c) Th1: \(m+1=0\)\(\Leftrightarrow m=-1\).
Thay \(m=-1\) vào phương trình ta được:
\(-5x+1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{5}\).
Th2: \(m+1\ne0\)\(\Leftrightarrow m\ne-1\)
\(\Delta=\left(2m-3\right)^2-4\left(m+1\right)\left(m+2\right)=-24m+1\).
- \(\Delta=0\)\(\Leftrightarrow-24m+1=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{24}\). Khi đó phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{-\left(2m-3\right)}{2\left(m+1\right)}=-\dfrac{2.\dfrac{1}{24}-3}{2.\left(\dfrac{1}{24}+1\right)}=-\dfrac{7}{5}\).
- \(\Delta< 0\)\(\Leftrightarrow-24m+1< 0\)\(\Leftrightarrow m>\dfrac{1}{24}\). Khi đó phương trình vô nghiệm.
- \(\Delta>0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{24}\). Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-3\right)+\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\)
\(x_2=\dfrac{-\left(2m-3\right)-\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\).
​Biện luận:
​- Với \(m=-1\) phương trình có duy nhất nghiệm \(x=\dfrac{1}{5}\).
​- Với \(m=\dfrac{1}{24}\) phương trình có nghiệm kép: \(x_1=x_2=-\dfrac{7}{5}\).
​- Với \(m>\dfrac{1}{24}\) phương trình vô nghiệm.
​- Với \(m< \dfrac{1}{24}\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(2m-3\right)+\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\); \(x_1=\dfrac{-\left(2m-3\right)-\sqrt{-24m+1}}{2\left(m+1\right)}\).

Answer 4

d​) Đkxđ: \(x\ne3\).
\(\dfrac{x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}}{x-3}=2x+m\)\(\Rightarrow x^2-\left(m+1\right)x-\dfrac{21}{4}=\left(2x+m\right)\left(x-3\right)\)
\(\Leftrightarrow4x^2+x\left(8m-20\right)+21-12m=0\) (*)
​Nếu 3 là một nghiệm của (*) ta có:
\(4.3^2+3\left(8m-20\right)+21-12.m=0\)\(\Leftrightarrow12m-3=0\)\(\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}\).
Thay \(m=\dfrac{1}{4}\) vào phương trình ta được:
\(4x^2-18x+18=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\).
​Với \(m\ne\dfrac{1}{4}\)
\(\Delta=\left(8m-20\right)^2-4.4.\left(21-12m\right)\)\(=64\left(m^2-2m+1\right)=64\left(m-1\right)^2\)
​Dễ thấy \(\Delta>0\) \(,\forall m\ne1\) và \(\Delta=0\) khi m = 1.
​- Với m = 1 phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=-\dfrac{8m-20}{2.4}=\dfrac{3}{2}\)
​- Với \(m\ne1\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{-\left(8m-20\right)+\sqrt{64\left(m-1\right)^2}}{2.4}\)\(=\dfrac{-8m+20+8\left(m-1\right)}{8}=\dfrac{3}{2}\).
\(x_2=\dfrac{-\left(8m-20\right)-\sqrt{64\left(m-1\right)^2}}{2.4}\)\(=\dfrac{-8m+20-8\left(m-1\right)}{8}=\dfrac{7-4m}{2}\)
Biện luận:
​Với \(m=\dfrac{1}{4}\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{3}{2}\).
​Với \(m=1\) phương trình có nghiệm kép:
\(x_1=x_2=\dfrac{3}{2}\)
​Với \(m\ne\dfrac{1}{4}\) và \(m\ne1\) phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\(x_1=\dfrac{3}{2};x_2=\dfrac{7-4m}{2}\).