Question

Tìm m để hàm số

1. y= ( 2m+ 3)sinx+(2-m)x đồng biến trên TXĐ

2 .y= x+(m+1)sinx nghịch biến trên TXĐ

Answer 1

1.

\(y'=\left(2m+3\right)cosx+2-m\ge0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)cosx\ge m-2\)

- Với \(m=-\frac{3}{2}\) thỏa mãn

- Với \(m>-\frac{3}{2}\Rightarrow cosx\ge\frac{m-2}{2m+3}\)

\(\Rightarrow\frac{m-2}{2m+3}\le\min\limits_Rcosx=-1\) \(\Leftrightarrow3m\le-1\Rightarrow m\le-\frac{1}{3}\Rightarrow-\frac{3}{2}< m\le-\frac{1}{3}\)

- Với \(m< -\frac{3}{2}\Rightarrow cosx\le\frac{m-2}{2m+3}\Rightarrow\frac{m-2}{2m+3}\ge\max\limits_Rcosx=1\)

\(\Leftrightarrow m-2\le2m+3\Rightarrow m\ge-5\)

Kết hợp lai ta được \(-5\le m\le-\frac{1}{3}\)

Answer 2

2.

\(y'=1+\left(m+1\right)cosx\le0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)cosx\le-1\) ; \(\forall x\in R\)

- Với \(m=-1\) không thỏa mãn

- Với \(m>-1\Leftrightarrow cosx\le-\frac{1}{m+1}\)

\(\Rightarrow-\frac{1}{m+1}\ge1\Leftrightarrow m+1\le-1\Rightarrow m\le-2\) (ktm)

- Với \(m< -1\Leftrightarrow cosx\ge-\frac{1}{m+1}\Rightarrow-\frac{1}{m+1}\le-1\)

\(\Leftrightarrow m+1\ge1\Rightarrow m\ge0\) (ktm)

Vậy không tồn tại m để hàm đồng biến trên TXĐ