Đặt \(F=\sqrt{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+5}\)
\(=\sqrt{\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+5}\)
# đặt \(t=x^2+3x\) ta có
\(=\sqrt{t\cdot\left(t+2\right)+5}=\sqrt{\left(t+1\right)^2+4}\)
# đạt giá trị nhỏ nhất của F=2 khi t+1=0 hay t=-1
Vậy \(F_{min}=2\) khi \(x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\)
Ta có: \(x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+5=\left(x^2+3x\right)\left(x^2+3x+2\right)+5\)
\(=\left(x^2+3x+1-1\right)\left(x^2+3x+1+1\right)+5=\left(x^2+3x+1\right)^2-1^2+5\)
\(=\left(x^2+3x+1\right)^2+4\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow x^2+3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+12x+4=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+3\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\)
Vậy: \(GTNN\) của biểu thức là \(\sqrt{4}=2\)
