Question

Tìm GTNN của f(x)=\(\dfrac{x}{2}\)+\(\dfrac{1}{2x+1}\) (x>-\(\dfrac{1}{2}\))

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(f(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x+1}=\frac{2x}{4}+\frac{1}{2x+1}=\frac{2x+1}{4}+\frac{1}{2x+1}-\frac{1}{4}\)

Vì \(x>\frac{-1}{2}\Rightarrow 2x+1>0\). Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:

\(\frac{2x+1}{4}+\frac{1}{2x+1}\geq 2\sqrt{\frac{2x+1}{4}.\frac{1}{2x+1}}=1\)

\(\Rightarrow f(x)=\frac{2x+1}{4}+\frac{1}{2x+1}-\frac{1}{4}\ge 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{2x+1}{4}=\frac{1}{2x+1}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(f(x)=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)