Question

Tìm GTNN của \(A=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\) với x>1,y>1

Answer 1

Lời giải :

\(A=\frac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(A=\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\)

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(y-1=1\cdot\left(y-1\right)\le\frac{\left(1+y-1\right)^2}{4}=\frac{y^2}{4}\)

Do đó \(\frac{x^2}{y-1}\ge\frac{x^2}{\frac{y^2}{4}}=\frac{4x^2}{y^2}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có \(\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{4y^2}{x^2}\)

Cộng theo vế 2 BĐT rồi tiếp tục Cô-si ta được :

\(A\ge\frac{4x^2}{y^2}+\frac{4y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{16\cdot x^2y^2}{x^2y^2}}=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=2\)