Question

Tìm GTLN, GTNN của C=\(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\)

Answer 1

\(ĐK:x\le1\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(C^2=\left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)^2\le\left(1-x+1+x\right)\left(1^2+1^2\right)=2.2=4\)

\(\Rightarrow C^2\le4\) \(\Rightarrow C\le2\)

\(\Rightarrow Max_C=2\Leftrightarrow x=0\)

Ta có BĐT: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab}\ge0\left(\forall a,b\ge0\right)\) luôn đúng

Áp dụng BĐT trên, ta được:

\(C=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\ge\sqrt{1-x+1+x}=\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow Min_C=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)