Câu hỏi của Lê Thế Tài

Question

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của A = x2 + y2, biết rằng :

x2(x2 + 2y2 - 3) + (y2 - 2)2 = 1

Đinh Đức Hùng · Accepted Answer

$x^2\left(x^2+2y^2-3\right)+\left(y^2-2\right)^2=1$

$\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2-3x^2+y^4-4y^2+4=1$

$\Leftrightarrow\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)-\left(4x^2+4y^2\right)+4+x^2=1$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-4\left(x^2+y^2\right)+4=1-x^2$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-2\right)^2=1-x^2\le1$

$\Leftrightarrow-1\le x^2+y^2-2\le1\Rightarrow1\le x^2+y^2\le3$Câu trả lời: $x^2\left(x^2+2y^2-3\right)+\left(y^2-2\right)^2=1$

$\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2-3x^2+y^4-4y^2+4=1$

$\Leftrightarrow\left(x^4+2x^2y^2+y^4\right)-\left(4x^2+4y^2\right)+4+x^2=1$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-4\left(x^2+y^2\right)+4=1-x^2$

$\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-2\right)^2=1-x^2\le1$

$\Leftrightarrow-1\le x^2+y^2-2\le1\Rightarrow1\le x^2+y^2\le3$

Violympic toán 8