Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A=5\(x^2+2y^2+4xy-2x+4y+2005\)

Answer 1

A=\(5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+2005=4x^2+4xy+y^2+x^2-2x+1+y^2+4y+4+2000=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2000\)

Ta có \(\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2000\ge2000\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của A là 2000